例谈对称性法

王林

《数学》七年级北师大版页有一道题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？

分析：本题所用的方法是找到A关于街道的对称点后，利用两点之间线段最短，连接BA1交街道于P，此时AP+BP最短.同样的方法找B的对称点也是一样的.这种方法我们可以归纳为：对称性法.

在我们学习的过程中，这样的问题通常有以下的六种变式拓展：

一、直接求这个动点到两个定点的距离的最小值.

例1、如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一个定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则求：PE+PC的最小值.

解：C关于BD的对称点恰好是点A，连接AE交BD于P，连接PC，此时PE+PC最小，

求这个动点的坐标.

例2、如图，平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3）、B（4，-1），若

P（，0）是x轴上的一动点，则当=__________时，△PAB的周长最小.

解：取A关于轴的对称点（2，3），连接交轴于P，连接PA，此时的周长最小，易得的直线为，可得=.

三、求当四边形的周长最小值时动点的坐标。

例3、由例2的已知条件不变，若C（，0），D（+3，0）是x轴上两动点，则当=______，四边形ABDC的周长最小.

解：平移CD到BE，此时E（1，-1），取E关于的对称点（1，1），连接交轴于C，连接CE，过B作CE的平行线交轴于D，此时四边形ABDC的周长最小.易得AE1的直线方程为，得.

四、求当四边形的周长为最小值时，两个动点的坐标.

例4、在直角坐标系中，已知：两点A（-8，3），B（-4，5），以及两动点C（0，n），D（m，0），当四边形ABCD的周长最小时，则m=__________，n=_____________.

解：取A关于轴的对称点（-8，-3），B关于轴的对称点（4，5），连接交y轴于C，交轴于D，连接BC，AD，此时四边形ABCD的周长最小，易得的直线方程为，得.

五、求两个动点到一个定点的线段和的最小值.

例5、在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45?，BD平分∠ABC，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值為____________.

解：过C作BD交AB于，此时C与关于BD对称，过作N⊥BC于N，连接CM，此时利用垂线段最短，可得CM+MN最小，.

六、求两条线段的差的最大值.

例6、已知：A（2，3，）B（5，-2），在x轴上是否存在一点P，使的值最大，则P的坐标为__________.

解：取B关于x轴的对称点，连接AB1交x轴于P，若分别在P的左，右两边，则一定有，只有当P在直线AB1上，此时有，这时最大，可得AB1的方程为，

P（11，0）.

即时练习：

（一）如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120?，∠B=∠E=90?，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC，DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长为最小值时，则△AMN的最小周长为________.

（二）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知M（0，1），E（，0），F（+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点，△PCM是以CM为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________；当=_______时，四边形PMEF的周长最小.

（三）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为_____________ .

（四）在平面直角坐标系中，x轴上的动点M到P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么MP+MQ取最小值时，则：M的坐标是_____________.

（五）如图，正比例函数与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.

1.求反比例函数的解析式；

2.如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上有一点，使与的差最大，求点P的坐标.

即时训练答案：1、42、3、 4、M（，0）

（六）1.反比例函数的解析式为

2.点为（，）