原子力显微镜的有限元仿真模型

邓文琪，陈勖，吴瑜，魏勇，覃国蓉，张运生

（深圳信息职业技术学院软件学院，广东 深圳 518172）

引言

原子力显微镜（AFM）是一种功能强大的仪器，用于对纳米级表面的形貌、机械、电气和磁性进行成像。1986年，Binnig等人提出了原子力显微镜[1]，它采用尖锐的尖端机械探头扫描表面。最常用的原子力显微镜探针是在自由端具有锐利尖端的微加工悬臂梁，曲率半径为4-20纳米。AFM探针与准确的x-y-z压电晶体的集成提供了高分辨率的形貌成像[2]，而衍射极限光学显微镜不能测量小于几百纳米的结构。尽管还有其他显微镜可以比AFM成像更大的区域，但因高分辨率的优越性使得AFM可用于许多应用。在其推出后的二十年中，AFM一直用于纳米级成像，表征和操纵表面[3]

AFM的基本原理如图1，典型的AFM悬臂的SEM图像如图2。图1中的AFM悬臂梁以一定角度放置在支架上，悬臂梁的偏转由光电二极管检测。扫描仪由三个独立控制的压电传感器组成，它们被组合成一个管子。x和y-piezos提供横向扫描，而z-piezo延伸和缩回以跟随表面形貌。控制器使用光电二极管输出，旨在通过启动z-压电元件来保持尖端采样距离恒定。用于启动z-压电的信号还为xy映射提供了样本的高度信息。

图1 AFM的原理图.Fig.1 Schematic of AFM.

图2 常规的AFM悬臂梁Fig.2 A regular AFM cantilever.

1 轻敲模式AFM

轻敲模式在吸引力和排斥力状态下执行。在这种模式下，悬臂尖端或样品在靠近探针尖端被表面吸引的接触点处振动，尖端轻轻地接触表面后升起。与接触和非接触模式相比，轻敲模式AFM（TM-AFM）在表面形貌测量方面更具优势。在攻丝模式下，悬臂探针仅与样本间断接触，因此可用于减少样本在测量过程中的损伤。典型的情况是悬臂被驱动以其基频振荡，但也并非总是如此，例如最近研究表明，用两个频率驱动悬臂可以用来控制双稳态[4]。轻敲模式已被广泛用于研究兼容材料，如聚合物、生物材料、半导体[5]以及生物结构的研究，由于过去缺乏适当的技术，表面占据了活生物体的大部分空间，因此，表面生物学难以进行调查。现在，许多这些挑战已经通过使用轻敲模式AFM克服。例如，对DNA、单个蛋白质和活细胞进行成像[6]。

此外，还可以通过利用尖端运动对力和力梯度的敏感性来测量材料属性，也可以通过振荡幅度、频率和相移同时数据来提供样本的详细描述。

2 原子力显微镜的数值仿真

点质量模型[1,4]通常用于描述轻敲模式AFM的行为。在这个模型中，悬臂和尖端由点质量弹簧表示，如式1所示。弹簧的一端由外力驱动，另一端施加尖端样本相互作用力。根据二阶微分方程更容易理解悬臂和尖端的动力学。

其中k，Q，w0分别表示悬臂的弹簧常数、品质因数、谐振频率和激励频率。而m代表质量，F0是激励力的幅度。最后一项Fts（d）是尖端样本相互作用力的总和，它取决于瞬时尖端样本间隔d，换句话说，它也可以看作是时间相关的相互作用力。由于轻敲模式AFM通常以弯曲模式的一阶共振频率或其附近振动来描述该方程的参数对应于一阶弯曲模式。当没有尖端样品相互作用时，悬臂的运动被认为是“自由振动”,可通过式(1)推导如下：

式(2)代表了强制和阻尼谐振子。为了了解轻敲模式AFM的动态行为，有必要了解谐波振荡器的特性。当激励频率（w）远小于谐振频率（w0）时，谐振子的响应主要由弹簧常数（k）决定。振荡器的运动与激励力呈正弦关系，振幅为F0/k。另一方面，如果激励频率远大于谐振频率，则m*d2z/dt2大于kz。因此，在这种情况下，响应主要受质量影响，换句话说，在这种情况下惯性效应是重要的。为了求解式(2)，有必要定义谐振子的阻尼。因此，应用于谐振子的阻尼与真正的攻丝模式AFM实验有关。由于原子力显微镜是一个欠阻尼系统，阻尼比ζ=1/2Q，因此小于1。在这种情况下，位移z按式（3）计算，它由瞬态项和稳定项组成。

该稳定项与具有相同谐振频率但具有相位滞后的激励力类似。当时间（t）遇到N时，瞬态项的幅度减小值exp（-N）*2Q/w0，其中N是常数。谐振子在瞬态频率ωr被认为是新的谐振频率。

结果表明，由COMSOL计算的悬臂共振频率为82424Hz，而制造商提供的共振频率为67kHz。两者之间的差异对于初步研究是可以接受的。

3 原子力显微镜有限元模型

3.1 几何形状和材料属性

有限元模型由三部分组成，分别是压电致动器，悬臂梁和尖端。表1列出了AFM系统的几何尺寸，表2描述了AFM模型的材料属性。

表1 原子力显微镜悬臂梁尺寸Tab.1 Cantiliver size of AFM

表2 材料属性Tab.2 Material properties

3.2 网格化

网格质量会影响模拟的准确性，细化接触发生的网格很重要。针对样品的尖端表面和接触表面选择的最大网格尺寸分别为3纳米和1纳米。四面体网格用于此模型。

4 仿真结果

4.1 特征频率研究

进行本征频率研究以研究悬臂的共振频率。

图3 本征频率仿真结果Fig.3 EigenFrequece result

4.2 时间依赖性研究

在仿真中，进行时间相关研究以模拟轻敲模式AFM。在悬臂的自由端施加正弦荷载，这导致悬臂梁以其共振频率振荡，并且端部间歇地接触样本。尖端和样品之间的距离是0.02微米。在这个模型中，只考虑接触力，而本文没有研究针尖与样品之间的范德华力和毛细作用力。图4显示了测试样品（硅）的悬臂位移和接触力。

图4 悬臂梁位移曲线Fig.4 Cantiliver displacement curve

从图4可以看出，只有当位移小于-0.02μm时，尖端才与样品接触。因此，在一个单一的周期（1/82424赫兹）内，只有少量的时间尖端接触样品，最大接触力约为700nN。

5 结束语

本文介绍了原子力显微镜的背景知识和传统原子力显微镜的数值仿真模型，提出了使用有限元仿真的方法来模拟轻敲模式原子力显微镜的行为。相对于传统的数值模拟，此方法考虑到了悬臂梁的几何属性及材料特性，更加接近真实的原子力显微镜。本文展示了有限元仿真的初步结果，如AFM悬臂梁的共振频率、位移曲线及根据时间变化的接触力。从仿真结果分析，将来有必要定义足够小的时间步长使仿真结果更加精确，但它会增加计算时间。在以后的研究中，应考虑范德华力和毛细管力等原子力显微镜涉及到各种作用力。