讨论思想在高中数学解题中的应用

颜湘玉

【摘要】讨论思想是基于数学思维上建立的特殊的解题方法。讨论思想融合了对数学问题的认识和解决。随着数学难度的提升，讨论思想在教学中的地位也逐渐提升，高中学生掌握了讨论思想，就能快速有效地解决数学问题。本文针对讨论思想在高中数学解题中的应用进行了分析研究。

【关键词】高中数学 分类讨论思想 应用

【中图分类号】F224.9 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）19-0063-02

一、讨论思想概述

有些数学问题，其答案并不是确定而唯一的。当我们进行到某一个步骤时，往往发现问题中含有几种情况，此时不能将几种情况一概而论，而要捕捉影响条件分支的重要因素。在一定的范围里，根据题目的要求，将情况分类成不同条件再进行讨论，才能真正探究出问题的解决思路。在面对数学题时，要保持清醒的分类意识，仔细阅读题目，明确是否需要分类。在确定分类后，要找出题干中的关键信息，根据给出的条件正确分类。要坚守一个标准原则，不重复统计某一种情况，也不漏掉任何一种情况。分好类后，要顺着这个类别的树干往下延展，顺着思路分类讨论，对所有情况进行整理，归纳总结出最后的结果。数学解题中，分类思想在不同问题中都有应用。例如函数、概率、数列、解析几何等都需用到分类思想。学生熟练运用分类思想，不仅在解题时游刃有余，对学生思维的逻辑性、条理性和概括性都有极大的帮助。

二、讨论思想在高中数学解题中的应用分析

分类思想作为探究和解决问题的常用方法，在高中数学解题过程中发挥了关键性作用。分类可以看作是化整为零，再逐个击破的过程。在数学解题中，分类可以化复杂为简单，化难为易。在帮助学生解题时，在进行分类的思维过程中，学生的归纳、总结能力也得到了锻炼与提高。

1.讨论思想在数列中的应用

数列是高中数学的重要模块，在高考数学中具有十分重要的地位。讨论思想作为高中数学的一种重要思维方法，在数列问题中也得到了广泛应用。通过举例分析分类讨论思想在数列中的应用，加深了学生对分类讨论思想的理解，增强了他们分类讨论的意识，提高了他们分析问题、解决问题的能力。下面，笔者以数列通项公式的求法、数列求和为例，具体说明分类讨论思想在数列中的应用。

例如：假设q为等比数列{an}的公比，前n项和Sn>0（n=1，2，3，4……），那么q的取值范围是多少？

由于本题中对q的范围没有明确说明，因此在求解过程中需要分类讨论，不能直接利用公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）。解析：由于{an}是等比数列且Sn>0，可知a1=S1>0，q≠0。那么：

（1）当q=1时，Sn=na1>0

（2）当q≠1使，Sn=a1（1-qn）/（1-q）>0，即（1-qn）/（1-q）>0（n=1，2，3，4……），这时可得到1-q<0且1-qn<0 或1-q>0且1-qn>0。

2.讨论思想在函数中的应用

分类讨论思想在高中函数学习中得到了广泛的应用。例如，函数定义域的求法，函数解析式的求法，函数最值的求法，函数单调性、奇偶性的讨论，以及与导数有关的综合问题等等。通过举例分析分类讨论思想在函数中的应用，促进了学生对分类讨论思想基础知识的理解，增强了他们分类讨论的意识。

例如：函数 y=（m+2）x?﹢?+3x-2（x≠0）为一次函数时，m的值是多少？由于题目中已知该函数为一次函数，而（m+1）x?﹢?可能为零、常数项或一次项，因此需要利用分类讨论的思想来进行求解。具体求解过程如下：

（1）当m+2=0，即m=-2时，函数y=3x-2，此时该函数为一次函数。

（2）当3m+2=0，即m=-时，函数y=3x-2，此时该函数为一次函数。

（3）当3m+2=1且m+2≠0，即m=时，函数y=x-2，此时该函数为一次函数。

3.讨论思想在几何中的应用

将讨论思想应用于几何解题中，需要以题设条件为依据进行划分，避免漏解，确保解题的准确。例如：圆柱的侧面展图为矩形，其中矩形的边长为 2和 4，求出圆柱的体积。由该题的题设条件可知圆柱的底面圆周长可变为 2，高可为 4。

解析：（1）如果圆柱的高为2，r1=4/2π，因此v=πr1?h1=（4×2）/π=8/π；（2）如果圆柱的高为4，r2=2/2π，因此v=πr2?h2=（1×4）/π=4/π。由此可知：圆柱的体积为8/π或4/π。

三、加强讨论思想应用的优化策略

分类讨论思想在日常解题和高考中的应用十分广泛，但部分学生在实际解题过程中还存在诸多问题。如讨论充分遗漏、分类标准不明确、讨论结果不准确等，从而导致分类讨论思想的应用效果不佳。因此，高中数学应用分类讨论思想解题时，需要详细了解分类标准，有效梳理解题思路，保证解题的准确性，提高思维的严密性。我们通过高中数学解题中几个应用实例的讨论，从两个方面探讨科学学习讨论思想的策略。

第一，高中生应有层次的进行习题练习。首先要加大习题练习，使高中生能够通过大量习题练习，对涉及分类讨论思想题型和内容有一个整体的了解，从而使学生遇到问题后，能根据日常练习的逻辑思维解答题目。其次与传统习题练习方法不同，习题练习过程中应明确题目的层次性。可将一个章节的学习时间，或一次抽查考试间隔时间为周期，对自身进行思想层次的考察。再从不足之处入手，采用循序渐进的方法，对题目所涉及的整个体系开展研究，使讨论思想得以强化。

第二，要激發学生自主思考的潜意识，除了采用加强练习的方法，还可以激发学生的主观能动性，加快学生讨论思想的养成。在此过程中，可采用一题多解的方式，也可采用案例研究的方式，让学生积极参与到课堂分组教学中。这种例题钻研模式，能使学生真正参与到课堂思考和发散思维学习中，使学生习得讨论思想应用的精髓。

四、结束语

分类思想对高中数学问题的解答有较大的作用。分类思想的灵活运用与否对高中生的思维敏捷性与细致性提出了考验。在平常的学习中要累积经验，对运用到分类思想的数学问题做出归纳与总结，再遇到类似问题时，便可轻松应对。对于相关的数学问题，在解答时，要善于观察题干给出的关键性信息，作为解题线索，按照相应的数学定理或公式进行正确分类。分类过程要仔细，不重复不遗漏，按照对应的层次一步一步作答。最后进行整合与总结，做出正确的答案。

参考文献：

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