你不知道的三角形面积

罗小亮

【摘要】 新课程标准提出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。三角形的面积计算公式的推导过程的学习有利于培养学生的创新性思维。关键在于教师要善于引导学生用多种方法推导三角形的面积计算公式。用两个完全相同的三角形拼成平行四边形只是最常规的一种推导过程，我将致力于引导学生通过几种神奇的推导过程激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性，培养学生的创造性思维。

【关键词】三角形 平行四边形 面积计算公式 推导 转化 剪拼

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）19-0071-01

数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。北师大版小学数学教材五年级上册中对于三角形面积公式的推导主要给了两种思路，一种是通过将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形进行推导；第二种是通过两个完全相同的三角形剪、拼成长方形进行推导。

对于第一种思路数学老师一般都很熟悉。

对于第二种思路，就是在第一种思路的基础上将一个三角形沿着高剪下，拼成一个长方形，从而进行推导。

课堂上我会引导学生思考：能不能只用一个三角形推导出三角形的面积？

从而出现以下思路：将一个三角形沿着一条中线剪下来，拼成一个平行四边形进行推导：

平行四边形的面积与原来的三角形的面积相等，只要算出平行四边形的面积就算出了三角形的面积。

平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高的一半。

平行四边形的面积=底（平行四边形） × 高（平行四边形）

=底（三角形） × 高（三角形）÷2

所以三角形的面积=底×高÷2

在上面思路的基础上我又进一步引导学生发现第四种推到方法：

原来的三角形的面积等于两个长方形的面积，只要算出一个长方形的面积再乘以2就能得到三角形的面积。

一个长方形的面积= 长 × 宽

一个长方形的面积=（三角形底÷2）×（三角形高÷2）

两个长方形的面积=（三角形底÷2）×（三角形高÷2）×2

= 三角形底÷2 × 三角形高÷2 ×2

= 三角形底 × 三角形高÷2

三角形的面积=三角形底 × 三角形高÷2

三角形的面积=底×高÷2

上面的推导方法是将一个三角形转化成了两个长方形，在此基础上我会引导学生思考：才能将这个三角形转化成一个长方形来推导。得出下面的推导方法：

长方形的面积与原来三角形的面积相等，只要算出了长方形面积就等于算出了三角形面积。

长方形的面积= 长 × 宽

=（三角形底÷2）×（三角形高）

=三角形底÷2 ×三角形高

=三角形底×三角形高÷2

三角形的面积=底×高÷2

以上这几种推导过程可以分成两大类，教材中提供的前面两种都是通过两个相同的三角形剪、拼成一个学过的图形进行推导的，而后面三种都是通过把一个三角形进行剪拼成一个学过的图形进行推导。当然还可以说把第一和第三种推导方法分为一类，因为这两种方法都是将三角形剪拼成平行四边形进行推导，而第二、四、五种方法都是将三角形剪拼成长方形进行推导。但我更倾向于将上面五种推导方法按照第一种分类方法进行分类。原因如下：

课堂上引导学生将这几种推导方法进行分类是很有必要的，因为这将为下一节课学习“已知三角形的面积和底，求三角形的高”或“已知三角形的面积和高，求底”有很大的帮助。因为将这几种推导方法进行分类之后更有助于学生在解决“已知三角形的面积和底，求三角形的高”或“已知三角形的面积和高，求底”的时候找到算理的依据。我以“已知三角形的面积和底，求高”为例来进行分析：

已知三角形的面积是45平方厘米，底是10厘米，求三角形的高。

教材在引导学生解决这类问题时，给出了两种思路，一种是方程的思路，在这里不做赘述。另一种是算术方法，基本的解题思路如下：

第一步：先算出与这个三角形等底等高的平行四边形的面积：

第二步：再用等底等高的平行四邊形的面积除以底就能得到平行四边形的高，这个高也就是三角形的高：

列成综合算式是：45×2÷10

这种方法正是运用了常用的三角形面积公式的推导方法来解决这个问题的。

但我班上却有几个同学在课堂上写出了这样的算式：45÷10×2

很多教师可能以为学生这样列式只是在熟练背诵了三角形面积公式之后的一种倒推的生搬硬套的方法。但当我在询问了学生为何这样列式的时候，学生给出了让我极为惊讶的理由，而这个理由正是运用了上面的推导方法的原理来进行列式的。

因为，三角形的面积就是转化后的平行四边形的面积，也就是说这个平行四边形的面积就是45，然后用平行四边形的面积除以底就等于高，即45÷9得到的就是这个平行四边形的高，而原来的三角形的高应该是这个平行四边形的高的2倍，所以再乘以2。完整的综合算式就是45÷10×2。学生这样的解释简直太完美了。

当然，这种列式方法也能用上面讲的推导公式的方法来进行解释：

因为，三角形的面积就是转化后的长方形的面积，也就是说这个长方形的面积就是45，然后用长方形的面积除以长就等于宽，即45÷（10÷2）得到的就是这个长方形的宽，而长方形的宽就是原来的三角形的高。将45÷（10÷2）进一步转化就得到了45÷10×2。

而这种列式的方法用第四种推导公式的方法来解释也是逻辑清晰的：

三角形的面积是45平方厘米，而右边的一个长方形的面积就是三角形面积的一半，即45÷2。用长方形的面积除以长就能得到宽，即（45÷2）÷（10÷2）。而原来的三角形的高是这个长方形的宽的2倍，所以三角形的高就是（45÷2）÷（10÷2）×2。将这个算式进行简单的转化：

（45÷2）÷（10÷2）×2

= 45 ÷（10÷2）

= 45÷10×2

可见，用45÷10×2的方法来求这个三角形的高不仅是可以的，而且还能很好的培养学生对三角形面积公式的推导过程的理解，培养学生用多种方法解决问题的能力，能很好地对学生进行发散思维的训练。

通过上面的对于《三角形面积》的两节课的教学过程可以看出，学生真正的在探究数学，而不是背数学。而这种研究性的学习对于培养学生的发散思维能力和逻辑推理能力将起到很好地推动作用。