半无限基衬上功能梯度材料层结构声学性能研究

陈美霞，徐 坤，谢 坤

（华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074）

0 引 言

功能梯度材料通常是指在厚度方向上材料参数梯度变化的复合材料，它实现了材料内部功能的渐变，可满足结构耐热、承载等功能的复合，通常具有缓和热应力、避免或降低应力集中等优点。作为一种较新的复合材料结构，功能梯度材料及其复合板在航天、航空、造船等领域中应用广泛，其声学性能也越来越受到人们的关注。

目前复合材料板的声反射及吸声问题研究已较深入[1-5]，主要方法为传递矩阵法[1-4]及输入阻抗递推方法[5]。对于功能梯度材料结构的传声问题，Moghaddam[6]研究了上表面受简谐载荷的功能梯度材料板一维应力波的传播。Qian[7]研究了半无限大基衬上功能梯度材料层结构的表面波传播。杨德森等[8-9]采用传递矩阵法分析了材料阻抗梯度变化介质对一维声波吸声性能的影响。尚尔昌[10]研究了渐进变化的多层吸收介质中的声反射问题。Seyyed等[11]采用传递矩阵法研究了功能梯度材料板的隔声问题。文献[6,8-10]主要研究对象为声波垂直或斜入射下梯度介质中纵波传播问题，而当声波斜入射固体介质时，介质中的横波对传声的影响不可忽略。对于声波斜入射情况，文献[11]主要研究了功能梯度材料平板空气中的隔声特性。

回传射线矩阵法最早是由Pao[12]在研究框架结构中的波传播问题中提出的，该方法随后被用于分析分层流体[13]以及分层固体[14]中的声波传播问题。陈伟球[15]及郭永强[16]利用回传射线矩阵法研究了功能梯度材料中弹性波的频散特性。文献[12-16]研究对象分别为分层流体或固体，而目前采用回传射线矩阵法对流固介质间声传播问题分析尚比较少。

本文研究了半无限域弹性基衬上功能梯度材料层结构的声反射及吸声性能，将功能梯度材料层沿厚度方向上分层离散等效，并推导了流固界面处及功能梯度层与基衬连接处的声波局部散射矩阵及各分层的相位偏移矩阵，然后组装得到关于各分层材料波幅的总体矩阵方程，最终求解功能梯度材料层的反射系数及吸声系数，拓展了回传射线矩阵法的应用。通过数值计算分析了材料参数沿厚度指数型式变化的功能梯度材料层的材料梯度、入射角、基衬材料参数等因素对声系数的影响规律。

1 基本理论

1.1 分层间局部散射矩阵

考察图1所示的功能梯度材料（FGM）层结构，其中功能梯度材料层厚度为h，功能梯度材料层上表面处于半无限流体域中，下表面与半无限域基衬材料理想粘合，厚度方向上材料参数梯度变化。平面声波从流体介质入射，考察功能梯度材料层合结构的声反射及吸声情况。

图1 功能梯度材料层分层示意图Fig.1 Division diagram of functionally graded material layer

为便于分析，考虑x-z平面内的二维应力状态，并将梯度材料层沿厚度方向分为若干子层，如图1（b）所示。当分层数足够多、每层的厚度足够薄时，该层材料参数变化很小，可视为均匀材料[15]，各子层之间的材料参数阶梯变化，进而等效材料的梯度连续变化。在各分层上下表面建立如图1（b）的两个局部坐标系，坐标系x-zii-（）1的上标表示该坐标系位于第i个分层界面上，且指向第（i-1）个分层界面。

根据弹性介质波动力学方程及分层界面处的应力及位移协调条件，可得介质中的声波在界面处的散射矩阵方程[15]

式中：k为沿x方向的波数，αi及βi分别为第i层材料纵波和横波在z方向上的波数，λi及μi为第i层材料的拉密常数。各分层纵波及横波波速分别为和，由 Snell定律，各个分层中纵波和剪切波在z方向上波数的分量分别为和，考虑材料的损耗因子时，将弹性模量复数化，即杨氏模量变为E˜=（1+i ）η E，并计算材料的拉密常数。令，则（1）式可写成di=Siai，称Si为第i个界面处的局部散射矩阵。

1.2 FGM表层散射矩阵

功能梯度材料层上表面为半无限域流体，不考虑流体粘性，则声场中只包含纵波，局部坐标系下纵波的标量声势为

流场中的质点的z向速度及声压p为

功能梯度材料层上表面处，由流体介质与固体介质的法向速度协调及声压与应力的协调：

根据（5）、（6）式，结合第1分层中的波动方程[15]，消去反射声势Φr得到入射声势Φi关于界面0处分离波与到达波波幅的关系

同理，通过消去入射声势Φi，可以得到反射声势

功能梯度材料层上表面处，由于不考虑流体的粘性，界面处的剪应力为零，

式中：矩阵 D0、A0及向量 I0分别为

功能梯度材料层与半无限域弹性基衬界面处，半无限弹性体只包含沿x-znn+（）1正向传播的纵波及横波，波幅分别为由（1）式消去得到关于及的矩阵方程。

1.3 分层内相位偏移矩阵

根据1.1及1.2中的波动连续条件建立了关于功能梯度材料层各分层材料中波幅的矩阵方程，其包含有4n个方程，8n个未知变量，要得到各分层的波幅，还需要增加方程个数。补充方程主要根据功能梯度材料层各分层材料内部的波幅的相位偏移关系，即在功能梯度材料层某个分层中，一侧边界上的分离波到达另一侧边界时为到达波，两者的幅值之间存在着相位偏移的关系，由此可以建立起各分层内到达波和分离波的幅值关系，如（13）式所示。对于n个分层，可补充4n个方程

写成矩阵形式如下式所示：

矩阵Pi建立了各分层内到达波和分离波的幅值关系，称为局部相位矩阵。

1.4 全局矩阵与声系数

1.1～1.3中分别得到分层界面处的声波散射矩阵Si及分层内部的相位偏移矩阵Pi，分别定义波幅向量，如下式所示：

式中：d和a分别为包含所有分层界面处的分离波、到达波的波幅向量。令则根据（1）、（10）、（12）式和（14）式，波幅关系可由下式表示：

S和P为分块对角阵，如下式，分别称为全局散射矩阵及全局相位矩阵：

关于a和d的方程（17）可以用矩阵形式表示，如下式所示：

矩阵方程 （19）建立了功能梯度材料各分层处的到达波和发出波之间的矩阵方程，式中的E为4n×4n的单位阵。求解该矩阵方程，得到d和a，再由（8）式求功能梯度层结构的反射系数，反射系数R及吸声系数a的表达式为

2 数值分析

2.1 方法验证

考察图1所示的无限大功能梯度材料层结构的声系数，材料参数如表1所示，声入射面材料特性阻抗与水接近，沿厚度z方向材料拉密系数λ、μ满足指数型式函数分布[7]，材料的特性阻抗为Z。表1中指数项中的常数P取不同值，材料参数随厚度变化的梯度不同，称P为梯度指数。

表1 功能梯度材料层与基衬材料参数Tab.1 Material property of functionally grade material layer and substrate material

为了验证本文方法，采用本文方法及文献[5]中的方法计算表1中P=0的均匀材料层的反射系数及吸声系数，均匀层的厚度为0.1 m，材料参数见表1，图2所示的是两种方法得到的反射系数及吸声系数的曲线对比。

图2 文献方法与本文方法反射系数与吸声系数对比Fig.2 Comparison of reflection and absorption coefficient in respect to reference and present method

由图2可见，本文方法得到的反射系数及吸声系数的结果同文献方法结果吻合得较好，从而验证了本文方法的正确性。为进一步验证功能梯度材料层的分层数n对声系数影响，对P=10功能梯度材料层结构，分别采用文献[5]方法及本文方法计算30 kHz声波垂直入射时不同分层数n时的反射系数，如图3所示。

由图3可见，本文方法计算反射系数收敛较快，当n=50时反射系数结果已趋于稳定；采用文献[5]的方法计算反射系数随着n值的收敛缓慢，当n=1 000时才近似收敛于本文方法得到的结果。对比表明本文方法不仅结果准确，且在较少分层数即可收敛得到反射系数的准确值。

图3 反射系数随分层数n变化曲线Fig.3 Reflection coefficient change in respect to different layer number n

2.2 垂直入射下梯度指数影响

以表1中的功能梯度材料层结构为计算模型，为比较声波垂直入射时不同梯度指数对反射系数的影响，分别计算不同P值的反射系数和吸声系数，如图4。

图4 声波垂直入射不同P值功能梯度材料层结构声系数对比Fig.4 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different P and vertical incident waves

当P=0，功能梯度材料层变为均质材料层，由图4，在低频段，声波波长相对于层厚较长，均质材料与功能梯度材料对声波传播的差异并不明显，反射系数与吸声系数差别较小；随着频率增加，由于入射波与反射波的叠加，均质材料层结构声系数曲线呈周期性振荡变化，且谐振峰值基本不变。当P=15，反射系数曲线随频率增加呈现振荡衰减的趋势，吸声系数振荡上升并趋于稳定。在10 kHz以上的较宽频带范围内，表层为功能梯度材料层的结构相比于均匀材料层结构反射系数降低，吸声系数增加，且幅值的变化超过0.3。

图5给出了材料的梯度指数P变化时z方向上材料与水的特性阻抗比（Z/Zw）随坐标变化曲线。由图5，随着梯度指数P增加，功能梯度材料层z=0处的材料特性阻抗与水接近且保持不变，z=h处特性阻抗与水阻抗比随之增大。

图5 不同梯度指数厚度方向材料特性阻抗分布曲线Fig.5 Impedance distribution in thickness direction of different gradient index

由图5，均质材料与功能梯度材料层结构声系数的差异主要是由于功能梯度材料层实现了材料参数的梯度渐变。功能梯度材料层在迎声面处的材料特性阻抗与水比较接近，使得声波更加容易进入功能梯度材料层，同时沿厚度方向上材料阻抗逐渐从迎声面处的低阻抗过渡到基衬材料的高阻抗，避免了阻抗突变引起的强反射，且在与背衬材料连接位置由于阻抗的匹配减小了声波反射，因此具有较小的反射系数及较大的吸声系数。功能梯度材料层厚度方向上相当于多层不同阻抗的材料共同作用，这种渐进过渡结构相比于均匀材料层具备宽频带的吸声能力。

此外，P值逐渐增加也会对反射系数产生影响。由图4，P值逐渐增加对低频段内的反射系数及吸声系数影响较小；在中高频段，P由10增加到15时反射系数减小，P值继续增加到20时，反射系数反而增大。由于声波入射位置处材料参数不变，而P主要影响z＞0处材料的参数分布，当P=15时，功能梯度材料层在z=h处材料的特性阻抗同背衬材料的阻抗差异最小，能够最大程度减弱该处声波反射。当P值过大或过小均会引起背衬处材料的特性阻抗失配，使梯度层与基衬介质连接处反射增加，故P=15时功能梯度材料层结构具有最佳的声学性能。

2.3 斜入射下梯度指数的影响

以表1中的功能梯度材料层结构为计算模型，考察声波斜入射时不同P对反射系数及吸声系数的影响。图6为声波30°斜入射下P=5、10、15以及20时反射系数及吸声系数对比曲线。

图6 声波斜入射不同P值功能梯度材料层声系数对比Fig.6 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different P and oblique incident waves

由图6，声波斜入射时，在中高频段P=15的功能梯度材料层具有最小的反射系数及最大的吸声系数。斜入射声波在功能梯度材料层及基衬中同时诱发横波及纵波，由于功能梯度材料层中材料参数沿厚度方向具有非均匀性，横波及纵波在不同分层间传播时会发生相互转化。（12）式中的散射矩阵描述了功能梯度材料层与基衬连结处的声波在该位置的散射情况。当P=15时，散射矩阵Sn近似为0矩阵，即功能梯度材料层中的横波及纵波均能无反射地穿过功能梯度材料层与基衬材料的界面(图1中界面n）入射到基衬材料中，进而减小了功能梯度层结构的反射。因此，中高频段声波斜入射时，P=15的功能梯度材料层结构的反射系数最小，吸声系数最大。

2.4 入射角度的影响

以表1中的功能梯度材料层结构为计算模型，图7是入射角分别为0°、30°及60°时P=15的功能梯度材料层结构的反射系数及吸声系数对比曲线。

图7 不同入射角下功能梯度材料层结构声系数对比Fig.7 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different incident angle

由图7，当入射角从0°增加至30°，反射系数的谐振峰向高频偏移，且对应峰值相比于垂直入射时略小；在1 000 Hz以下的反射系数随着入射角度逐渐增大先减小，后增大，吸声系数先增大，后较小，表明梯度层的低频吸声效果随入射角并不呈单调变化，这主要是入射角逐渐增加引起声波在功能梯度材料层厚度方向的波数发生变化，反射声波与入射声波的叠加效应引起；在10 kHz以上的中高频段，小角度斜入射吸声系数均趋近于1。入射角度60°时，1 000 Hz以下的较低频段反射系数相比于30°斜入射值降低超过0.1，中高频段的反射系数相比于30°斜入射时增大。图7表明声波斜入射角度较小时，反射系数及吸声系数随入射角变化不大，在中高频段功能梯度层对斜入射声波有较好的吸收作用。

2.5 梯度材料层厚度影响

假设基衬材料与功能梯度材料层界面处材料参数相同，如表2所示，且梯度指数P=15，考察不同功能梯度材料层厚度对反射系数及吸声系数的影响。

表2 功能梯度材料层与基衬材料参数Tab.2 Material property of functionally grade material layer and substrate material

功能梯度材料层厚度h分别取0.05 m、0.10 m及0.15 m，并假设声波垂直入射，如图8所示的是不同h下反射系数及吸声系数的对比曲线。

图9给出了功能梯度材料层厚度h变化时z方向上材料的特性阻抗随坐标变化曲线。随着功能梯度材料层厚度增加，迎声面处的材料特性阻抗与水接近且保持不变，而基衬材料的特性阻抗与水阻抗比随之增大。

由图8可见，随着功能梯度材料层厚度的增加，反射系数及吸声系数的谐振峰更加密集，且谐振频率向低频偏移。较低频段内功能梯度材料层的厚度越薄，反射系数越小。由图9可见，功能梯度层的厚度h还影响到基衬材料的参数。当h=0.05时，基衬材料的特性阻抗约为水的两倍，当h=0.15时，基衬材料的阻抗约为水的10倍。低频段声波波长较长，反射系数及吸声系数主要受到基衬材料特性阻抗的影响，厚度越小基衬材料的特性阻抗与水越匹配，声波能够更容易透过功能梯度层入射到基衬介质中，低频吸声系数越大；随着频率增加，反射系数主要受功能梯度材料表层材料的特性阻抗影响，由于表层材料的特性阻抗与水匹配度较好，中高频下不同厚度功能梯度材料层结构均具有较高的吸声系数，不同背衬材料结构的吸声系数趋于一致。

图9 不同h厚度方向材料特性阻抗分布曲线Fig.9 Impedance distribution in thickness direction of different thickness h

3 结论

本文对半无限大基衬上的功能梯度材料层结构的反射系数及吸声系数进行了研究。基于回传射线矩阵法，建立了声波经由流体介质及功能梯度材料层入射到半无限大基衬材料声传播理论模型，推导了功能梯度材料层结构的声学特性公式，分析了功能梯度材料层梯度指数、入射角、厚度等参数变化对反射系数及吸声系数的影响，可为水下结构声隐身覆盖层材料的参数设计提供参考，并得到以下结论：

（1）声波垂直入射时，功能梯度材料层能够实现流体介质与基衬材料介质特性阻抗的平稳过渡，使整个结构在中高频范围内均具备优良的声学性能，相比于均质材料层结构提高宽频带的吸声特性；

（2）声波斜入射时，功能梯度材料层材料参数的渐变特性消除了横波和纵波在材料界面处的强反射，使斜入射下的功能梯度材料层结构仍然具有较低的反射系数及较高吸声系数，具备斜入射下较优的声学性能；

（3）弹性基衬材料主要影响功能梯度层结构的低频吸声性能，声波垂直入射时，基衬材料的特性阻抗与水越接近有利于提高低频段吸声性能，随着频率增加，反射系数主要由功能梯度材料表层材料的特性阻抗决定，中高频下的不同背衬材料结构的吸声系数趋于一致。

附 录

式中：矩阵元素Dn中的元素分别为：

矩阵元素An中的元素分别为：

式中：λn、μn分别为功能梯度材料层的第n个分层中的拉密系数，αn、βn为第n个分层材料中z方向上纵波及横波的波数；λn+1、μn+1分别为基衬材料的拉密系数，αn+1、βn+1为基衬材料中z方向上纵波及横波的波数。