试论中学数学分类讨论思想及应用

李伟振

【摘 要】本文通过对分类的重要性、分类的必要性、分类的原则性、分类的原因 、分类的步骤、在教学中如何渗透分类讨论思想等进行讨论，以培养学生思维的条理性和严密性，提高分析问题和解决问题的能力，从而提高教学质量和学生的数学素养。

【关键词】中学数学 分类讨论思想 必要性 原则性

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）06B-0038-03

中学阶段的数学基础知识，主要是指课本中有关的概念、法则、性质、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和基本方法。其中分类讨论思想是中学数学中的一个重要策略思想，也是一个重要的数学方法，纵观全国各地中考、高考试题，分类讨论思想是运用频率最多的思想之一。下面就中学数学中的分类讨论思想与应用作探讨。

一、分类的重要性

在中学阶段很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决。这时就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决，这是具有哲学意义的思想方法。而分类讨论思想就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”再求整体解决的策略思想。从逻辑学上讲，分类就是指概念外延，也就是指同属于被分概念的各类概念的逻辑活动，是根据数学对象的异同，将数学对象划分为不同的种类，分别进行研究和求解的一种数学思想方法。通过分类，一方面可使有关概念的知识系统化、完整化；而另一方面对该概念的外延有深刻的认识。很多数学问题很难用统一的方法解决，但若将其划分为若干个局部问题，每个局部问题解决了，整个问题就解决了。从某种意义上说，分类讨论思想就是化整为零，各个击破的方法。

二、分类的必要性

（一）从教材的内容看分类讨论的必要性

教材是教学的蓝本，学生获得基础知识主要是从课本中得来，而在中学教科书中，从初一的有理数的概念到高中的立体几何图形的分类和位置关系再到高三的总复习，整个阶段都渗透了分类思想的内容。这就要求教师站在一个较高的层次上，根据数学知识的内部结构自觉地有意识地向学生渗透分类思想。

（二）从高考趋势看分类思想的必要性

数学分类思想，已广泛渗入自然科学乃至社会科学的各个领域，成为现代知识文明的一个重要组成部分。让学生在中学阶段掌握这一思想武器，无疑是十分必要的。在高三的第二阶段复习中，分类讨论思想作为一个专题复习，凸显分类讨论思想在高考中的重要性。分类讨论的试题已大量渗透到高考中，下面看看分类讨论在高考中的应用。

（四）分类不能越级

不能越级是把被分概念分为最邻近的类概念。

例如，把复数分实数和虚数，而实数又分有理数和无理数是正确的，但是，如果把复数分虚数、整数、分数、无理数就越级了。

四、分類的原因

（一）涉及的数学概念是分类定义的

五、分类步骤

（一）确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；

（二）合理分类，统一标准，不重不漏；

（三）逐段逐类讨论，分级进行；

（四）归纳总结，得出整个题目的结论。

应用分类讨论的思想方法一般都可以按以上步骤进行，下面举例说明。

分析：本题的关键是去掉绝对值符号，绝对值的定义是以零点为界分类的，所以就应确定每一个绝对值符号的零点。|x-5|和|2x+3|的零点是 x=5 和 ，这样就可以确定被讨论的全域是 ，，x≥5，按这三段逐类讨论，分级进行，就可以做到不重不漏。

六、如何渗透分类思想

（一）增强分类意识

分类思想是一种重要的数学思想，它是高考试题的热点之一，它在整个中学数学的学习中经常运用。在传统的教学中，我们比较注重基本概念、性质、定理、法则的教学，很少注重引导学生从数学思想的角度去总结、归纳、升华，从而忽视了数学思想的教学，对其中的分类思想更谈不上灵活运用。如果能够将许多复杂的数学问题进行适当分类，问题就变得相对简单明确，而且解出的结果不易重复和遗漏，故要增强分类讨论的意识。

（四）做好专题分类讨论的学习和训练

在学习分类思想的初始阶段时，可以从一些简单的现象分类或学生比较熟悉的数学问题分类入手，逐步提高要求。当学生初步了解一些分类方法后，要做好专题的分类讨论课，多讲解和训练一些常见的分类方法，特别到了高三总复习，那时有专题的分类讨论思想复习，更要把握好，使学生真正掌握数学分类思想。

以上是笔者对分类讨论思想的一些探讨，笔者研究发现考查分类讨论思想的题型在高考中不断出现，说明分类讨论思想不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点，故教师更应该重视和加强分类讨论思想教学，它是一种深层次的新教学改革，它不但可以提高教学质量，而且更能提高学生的数学素养。

【参考文献】

[1]张 旦.分类讨论思想[M].世纪金榜（2005年高考复习资）

[2]张友惠.谈数学概念的理解[M].湖南教育，2005（10）

[3]王俊杰.分类讨论思想[M].收获季节（2006年高考复习资料），2006

[4]孙丰良.数学思想经典考题[M].中学数学教学参考，2006（2）

[5]郑毓信.数学方法论[M].广西教育出版社，2001（11）

[6]沈呈民.中学数学思想方法词典[M].辽宁教育出版社，2000（9）

（责编 卢建龙）