解题的有力抓手

钟岳宏

【内容摘要】日本著名数学教育家，学者米山国藏说过：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。可见，掌握了数学思想方法，便掌握了数学的精髓，在解题过程中，能进一步挖掘和运用思想方法，往往能事半功倍，立竿见影。

【关键词】解题 数学 思想

前言

常见的数学思想方法有：换元思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。笔者以《义务教育教科书·数学》（九年级上册）为例，对常见几种数学思想方法的解题运用作简单分析，以求抛砖引玉，请教于同行。

一、换元思想

换元法也称变量替换法，是数学中一个非常重要而且应用广泛的解题方法，即根据所要求解式子的结构特点，巧妙地设置新的变量来替换原来表达式中某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求原变量的结果。通过换元，使问题化难为易，化繁为简。

二、 函数与方程思想

函数、方程是两个不同的概念，但又密不可分，是初中数学的核心内容，也是解答数学问题常用的数学思想。

1.方程思想

方程思想是通过对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程，适当设定未知数，将问题化归为方程的问题，利用方程的性质、定理，实现问题与方程的互相转化接轨，从而使问题得到解决。

例（教科书56页复习题第7题）。某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。该公司这两年缴税的平均增长率为多少？

分析：本题是平均增长率问题，其中a为基数，b为终止时的数量，x为平均增长率（降价率），n为增长（降低）的次数。如果设平均增长率为x，那么a是40万元，b是48.4万元，n等于2，即可建立方程，求出x的值。

解：设该公司这两年缴税的平均增长率为x

答：该公司这两年缴税的平均增长率为10%

2.函数思想

所谓函数思想，就是用运动、变化的观点分析、研究具体问题中的数量关系，以函数的形式加以研究，转化和解决问题。函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括。

例（教科书159页习题6.4第2题）。某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kpa）是气体体积v（m3）的反比例函数。

（1）写出这一函数的表达式；

（2）当气体体积为1 m3时，气压是多少？

（3）当气球内的气压大于140 kpa时，气球将爆炸。为了安全起见，气体的体积应不小于多少？

分析：本题考查了用待定系数法求函数表达式及运用函数表达式解答实际问题，利用了函数思想。解不等式即可。

三、数形结合思想

数形结合思想是数学中重要的思想方法之一。它沟通了代数与几何的内在联系，通过对图形的认识及数形结合的转化，使问题化难为易，化抽象为具体，通过形可以解决数很难解决的问题。其解题特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，有较强的综合性。加强这方面的学习和训练，能更好的提高学生的创新能力的培养学生的创造性思维。

（1）写出这个一次函数的表达式；

（2）画出函数图象草图，并据此写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围。

分析：本题将反比例函数与一次函数相联系，考查了待定系数法求函数表达式及观察函数图象的能力，解题过程中需要数形结合，具有一点的综合性。（1）题是根据A，B两点坐标及反比例函数的表达式求出m，n的值，然后用待定系数法求得一次函数的表达式；（2）题利用数形结合，当一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，对应的x的范围即为所求。

使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x<-1或0

四、分类讨论思想

所谓分类讨论思想，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种思想。 分类讨论相当于增加了求解问题的条件，它体现出化整为零，从部分到整体的思想方法。讨论时一定要全面，做到不重不漏。

例（教科书102页习题4.9第4题）。在ΔABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P，Q两动点同时运动，那么何时ΔQBP与ΔABC相似？

分析：本题属动点型问题，考查了两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的应用。因为对应边的不同得到不同的成比例线段，所以要分类讨论。分类讨论思想是实际解题中必须使用的方法，通过使用这种方法，可以明确问题答案的多种情况，可以全面思考问题，并且从多种情境的解析的得出最终的答案。对于学生来说，必须掌握这种方法，进而提升自己的解题效率和全面性。学生如果不了解数学思想，只是一味地去记忆数学概念、数学公式、数学法则、数学定理，对于数学知识和技能的认知也浮于表面，无法掌握其精髓和核心。换言之，学生只掌握了表面的数学知识，没有理解其核心和内涵，没有抓住其本质内容。当数学问题换一种更为复杂的形式时，学生就难以解决。因此，数学教师在平时教学中既要做好基础知识的传授工作，同时还要做好数学思想的渗透工作。让学生对数学思想有一定的感知，面对数学综合题的时候能够抓住其本质，首先分析探求思路，接着优化实施解答，最后再反思验证结论，让数学思想贯穿整个过程，这样可以将数学思想的功能和价值最大限度发挥出来。学生掌握了数学思想，就掌握数学的本质，也就具备了举一反三的能力，无论数学问题的形式如何改变，学生都能快速找到解题思路，理清楚各个已知条件之间的关系，并在已知条件和所求问题之间建立联系，从而提升解题速度、解题正确率。

五、转化与化归思想

利用转化和化归思路，可以把数学问题转化为比较容易思考或者解决的形式，这样可以显著降低解题的难度，相应的解题流程也能得到简化，这种方法是数学解题中比较常见的方法，具有较强的应用价值。数学转化与化归思想方法是数学思想方法的灵魂，是“由一种形式转换成另一种形式”的数学转换，解题过程实质就是由繁到简，由难到易，由已知到未知的转换过程。匈牙利数学家波利亚把数学解题思维过程概括为理解、轉换、实施、反思。可见，转换是关键，也是一种手段。本册中用配方法、公式法、因式分解法求解一元二次方程和相似三角形判定定理的证明，都充分利用了数学中的转化与化归思想。配方法解方程是把方程化为其它形式，体现了数学形式的转化；公式法解方程是直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”；因式分解法解方程是运用“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。而相似三角形判定定理的证明，换言之，数学思想是对数学知识的升华和融会贯通。这是一种观念性的东西，同时也能在一定程度上标志出一个人的数学素质程度。在数学教学中融入数学思想，就如同教师在授学生“鱼”的同时还授学生以“渔”，学生既掌握了数学知识，同时也形成了举一反三、触类旁通的能力。数学思想的渗透，对学生数学素质的提升以及数学观念的形成具有积极的作用和意义。对于数学解题而言，数学思想扮演者灵魂的角色。从新课程改革也可以看出，针对数学考试的评价也进行了一定的调整。在传统的数学教学中，针对数学教学的评价主要看学生掌握了多少数学知识和数学技能，如今也增加了对数学思想的考察。随着课程改革的深化，数学评价中对于这部分的考察分量也越来越重。这也在提醒数学教师要重视数学思想的渗透。

分析：本题考查了相似三角形的判定、角平分线的定义、等边对等角等知识的综合应用，当求证结论是乘积式或比例式时，常转化为证两个三角形相似，体现了数学的转化与化归思想。

数学思想方法是数学知识的灵魂，是我们解决数学问题的有力抓手，也是学好数学的一把金钥匙。其实，在解题中许多数学思想方法既相辅相成又相互蕴含，加强学生挖掘隐含在解题过程中的思想方法，举一反三，触类旁通，既发展了学生的学习能力，又提高了学生的数学素养。

（作者单位：广东省惠来县隆江中学）