基于块稀疏贝叶斯学习的跳频通信梳状干扰抑制

张永顺， 朱卫纲， 孟祥航， 贾鑫， 曾创展， 王满喜

(1.航天工程大学 研究生院, 北京 101416; 2.航天工程大学 电子与光学工程系, 北京 101416;3.航天工程大学 科研学术处, 北京 101416; 4.电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室, 河南 洛阳 471003)

0 引言

跳频(FHSS)通信具有抗干扰能力强、多址能力好等优点，在军用和民用通信领域应用广泛。随着通信对抗技术的不断发展，干扰方陆续发展出了部分频带干扰、扫频干扰、梳状干扰等多种有效干扰手段，FHSS通信自身抗干扰能力已经无法满足需求。在上述干扰中，梳状干扰可以将有限功率集中于FHSS通信的各个频点，具有良好的干扰效率，对FHSS通信造成了严重的影响。梳状干扰抑制一直是FHSS通信干扰抑制研究中的难点，目前国内外关于FHSS通信梳状干扰抑制的研究进展十分有限，传统FHSS通信梳状干扰抑制使用自适应跳频技术和差分跳频技术[1-2]，但这些方法在强干扰和干扰数量较大情况下将失效。同时，由于FHSS通信技术在向超宽带、超高频、高码率方向发展，大带宽导致采样率急剧提高，基于奈奎斯特采样定理的FHSS通信干扰抑制算法受限于两方面的难题：1)高采样条件下，模拟/数字转换器硬件成本较高；2)高采样率增加了信号传输、存储、处理的开销。压缩感知(CS)[3]理论为解决大带宽信号处理面临的采样难题提供了一条有效途径。

当信号能够在某个域上得到稀疏表达时，CS能够以高概率重构压缩信号，但这也带来了一个显著问题[4]，即经过压缩采样后，信号特性将显著变化，使得传统的干扰抑制方法不再适用。因此，研究适用于压缩域的干扰抑制方法显得尤为必要。文献[5-6]研究了在正交频分复用系统中利用压缩数据估计窄带干扰并进行对消的干扰抑制方法。该方法将窄带干扰建模为音频干扰，但实际应用中窄带干扰通常具有一定带宽，该方法对具有一定带宽的干扰抑制效果较差。文献[7-8]研究了基于选择性测量的宽带噪声抑制方法。该方法能够根据估计出的噪声位置自适应地更新测量矩阵，实现对信号采样而对噪声不采样，有效地降低了噪声对信号重构的影响。文献[9]研究了基于CS的直接序列扩频(DSSS)通信干扰抑制方法。该方法在假定实现DSSS信号同步的基础上能够实现对音频干扰和扫频干扰的抑制，但对于具有一定带宽的梳状干扰则无法实现干扰抑制的目的。综合文献[4-9]可以看出，基于CS的FHSS通信梳状干扰抑制问题研究尚鲜有报道。

在实际信号分析中不仅存在传统意义上的稀疏信号，还存在另一种典型稀疏信号——块稀疏信号，即信号值不为0的地方是成块出现的。基于信号的这种特性，学者们将传统压缩重构算法推广到块稀疏重构，提出了块稀疏追踪(BMP)以及块稀疏正交匹配追踪(BOMP)等算法[10]。这些算法利用了信号的块稀疏特性，能够实现块稀疏信号的重构，但这些算法没有考虑块稀疏信号的相关结构，算法性能较差且依赖信号的稀疏结构以及稀疏度等先验信息。Zhang等[11]充分利用信号的空间结构和时序结构信息，提出了块稀疏贝叶斯学习(BSBL)框架，取得了比传统CS算法更优的稀疏信号重构性能。

本文着眼于FHSS通信梳状干扰抑制研究需要解决的两个问题：1)针对大带宽信号受限于系统采样率较高的问题，如何有效地降低系统采样率，降低系统成本；2)针对压缩采样后信号特性发生变化，传统干扰抑制方法不再适用的问题，如何实现干扰抑制，开展基于CS的FHSS通信梳状干扰抑制的研究。首先，分析梳状干扰的块稀疏特性并构建梳状干扰稀疏字典；其次，利用FHSS信号与梳状干扰的不同压缩域特性以及梳状干扰的频域块稀疏特性，构建基于BSBL框架的FHSS通信梳状干扰抑制模型，利用期望最大化(EM)算法，设计基于块稀疏贝叶斯学习- 期望最大化(BSBL_EM)的FHSS通信梳状干扰抑制算法，分析干扰强度、干扰带宽以及压缩率的变化对算法性能影响；最后，通过仿真实验，对所提算法性能进行分析验证。

1 CS以及块稀疏

信号稀疏表示问题的关键是构建合适的稀疏字典，使信号在该字典上投影值的非零项尽可能少。设任意一个N维信号s=[s1,s2,s3,…,sN]T，满足：

(1)

式中：α=[α1,α2,…,αN]T为稀疏系数向量；Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]为信号s的稀疏字典。

若α中只有K(K≪N)个值不为0，则称信号s在字典Ψ上是K稀疏的。

通过构造大小为M×N阶线性测量矩阵Φ实现对信号的压缩采样，压缩采样过程可以表示为

y=ΦΨα=Θα,

(2)

式中：y为压缩信号；Θ为感知矩阵。

此外，要实现从低维数据中重构出高维数据，要求Φ满足约束等距条件(RIP)[12]，测量矩阵Φ的RIP参数为满足(3)式的最小ε：

(3)

式中：ε为约束等距常数。RIP准则是信号有效重构的充分条件，但判断测量矩阵Φ是否满足RIP准则是一个组合复杂度问题。Baraniuk给出了与RIP条件等价的非相干定理[13]，即如果测量矩阵与信号稀疏字典的相干度足够小，即使测量矩阵Φ不满足RIP准则，也能以较高的概率重构出原信号。

信号重构就是利用M×1阶压缩信号y恢复出长度为N的原始信号过程。由于M

(4)

式中：‖α‖0为稀疏系数向量α中非零项的数目；δ为噪声功率。求解出稀疏系数向量α的估计值即可实现信号的有效重构。

事实上，传统意义上的信号稀疏性并不是唯一的稀疏信号表示模型，考虑另一类稀疏信号——块稀疏信号，其定义如下：

(5)

2 梳状干扰稀疏特性分析及稀疏字典构建

信号稀疏性是应用CS理论的基础，为了后续开展基于CS的FHSS通信梳状干扰抑制处理研究，本节对梳状干扰的稀疏特性进行分析并给出相应的稀疏字典构建方法。

不失一般性，本文将梳状干扰建模为多窄带干扰，其中单个窄带干扰建模为高斯白噪声通过窄带滤波器。因此，将单个窄带干扰j(n)建模为P阶自回归(AR)模型，其满足差分方程：

(6)

(7)

因此，干扰的功率谱可表示为

(8)

梳状干扰的频域响应如图1所示。

从图1中可知，梳状干扰在频域中具有明显的块稀疏特性。因此，本文构建Fourier正交基作为梳状干扰稀疏字典：

(9)

式中：w=e-j2π/N.

3 BSBL框架及EM算法

BSBL框架算法能够从含噪声的压缩信号y∈M(M

y=Φ(s+ε)=Θsαs+Φε,

(10)

式中：Θs为感知矩阵；ε为背景噪声，可建模为高斯白噪声；αs可用下面的块向量表示为

(11)

稀疏块大小di(i=1,2,…,g)不一定相同，在g个分块中只有K(K≪g)个分块不为0.

在BSBL框架下，假设αi∈di服从如下多元参数高斯分布：

p(αi|{γi,Bi})～N(0,γiBi),i=1,2，…,g,

(12)

式中：Bi和γi为待定参数，其中γi为控制αs块稀疏结构的非负参数。当γi=0时，对应的第i块将被判定为与待重构信号不相关。在贝叶斯学习过程中，由于信号具有块稀疏性，自相关性确定(ARD)机制将导致大多数γi趋近于0.Bi∈di×di为第i块相关结构的正定矩阵。矩阵Bi可以根据BSBL迭代过程中的学习规则进行初始化。假设各分块之间互不相关，则αs的先验分布满足p(αs)～N(0,Σ0)，其中Σ0是由γiBi组成的块对角矩阵，

(13)

假设噪声满足0均值高斯分布，即p(ε)～N(0,λ-1I)，其中λ-1为一正实数，表示噪声方差，I为单位矩阵，则从观测模型和信号模型中可得后验概率和似然函数分别为

(14)

(15)

(16)

针对(16)式的代价函数，采用不同的优化算法将得到不同的BSBL算法，将这些算法统称为BSBL框架算法。最大后验(MAP)估计的均值即为αs的估计值，即s=μ.

一种MAP概率的策略是将问题建模为期望最大化，EM算法[15]提供了一种计算MAP的迭代算法，该算法简单且性能稳定。当使用EM算法作为优化算法时，(16)式可以写为

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：μi∈di×1为μ的第i个分块；Σi∈di×di是Σ的第i个主对角块。

为避免过拟合，文献[16]限定Bi为Toeplitz形式，即

(21)

式中：r为相关系数；Toeplitz(V)为将向量V展开为对称的Toeplitz矩阵。

利用Bi的更新式可得到相关系数r的经验计算公式为

(22)

(23)

4 干扰抑制模型及干扰抑制算法设计

假设系统接收信号x由FHSS信号、干扰噪声和背景噪声3部分组成，可以表示为

x=sFH+j+ε,

(24)

式中：sFH为FHSS信号；j为梳状干扰。

考虑跳频信号幅度、相位、跳频周期、载波频率、多普勒频偏、跳频频率和噪声等参数信息，并加入二进制相移键控(BPSK)调制信息数据，则射频前端接收到的跳频信号可以表示为

(25)

式中：D(t)为基带复包络；Δti为初始非完整跳在观测时间内的持续时间；fic为初始非完整跳在观测时间内的中心频率；φi为初始非完整跳的相位；TH为跳频周期；φl为第l(l=1,2,…,L)个完整跳的初始相位，L为观测时间内出现完整跳频信号的个数；flc为第l个完整跳的中心频率；Δte为末尾非完整跳在观测时间段内的持续时间；fec为末尾非完整跳在观测时间段内的中心频率；φe为末尾非完整跳的初始相位；fdi、fdl和fde分别表示初始非完整跳、完整跳和末尾非完整跳的跳频点时频率偏移量。

从(25)式中可知，跳频信号是典型的分段信号，具有分段稀疏性，每个分段信号在Fourier正交基上具有高度稀疏性，即观测时间内的FHSS信号在稀疏字典ΨFH上能够得到稀疏表达为

(26)

式中：Ψi(i=1,2,…,K+2)为与对应跳频信号长度一致的Fourier正交基。

由上述分析可知，观测时间内的跳频信号在ΨCJ上无法得到稀疏表达。因此，压缩信号y可以描述为

y=Φ(sFH+j+ε)=ΦΨCJαCJ+Φ(sFH+ε)=
ΦΨCJαCJ+e=ΘCJαCJ+e,

(27)

式中：ΘCJ为梳状干扰感知矩阵；αCJ为梳状干扰在频域的稀疏系数向量，具有块稀疏特性；e为噪声分量。由于FHSS信号在梳状干扰的稀疏字典上无法得到稀疏表达，利用BSBL框架算法能够从压缩信号y中有效地重构出梳状干扰稀疏系数向量CJ，进而实现梳状干扰的重构为

=ΨCJCJ.

(28)

重构梳状干扰后即可在时域对消干扰，实现干扰抑制的目的，

FH=x-.

(29)

根据梳状干扰在频域的块稀疏特性，本文利用BSBL框架算法从压缩数据中重构出梳状干扰，通过时域对消实现干扰抑制的目的，有效地避免了传统FHSS通信干扰抑制中要求FHSS信号需要实现同步的弊端。本文构建的基于BSBL框架的FHSS通信梳状干扰抑制模型如图2所示。

在BSBL框架下，本文采用EM算法作为优化算法，设计了基于BSBL_EM的FHSS通信梳状干扰抑制算法。算法步骤如表1所示。

表1 基于BSBL_EM的FHSS通信梳状干扰抑制算法

5 性能分析

本文利用FHSS信号和梳状干扰的不同压缩域特性以及梳状干扰的频域块稀疏特性，实现梳状干扰的重构与抑制。干扰抑制的效果依赖于梳状干扰的重构精度。影响梳状干扰重构精度的因素有干扰强度、干扰带宽、压缩率等。本节分析这些因素对算法性能的影响。

5.1 干扰强度影响

5.2 干扰带宽影响

干扰带宽越大，干扰重构精度越差，干扰抑制性能越差。本文算法利用梳状干扰的频域块稀疏特性，干扰带宽越大，信号不为0的稀疏块越多，信号稀疏性越差，干扰重构效果越差。同时，本文所提算法的运算量主要集中于EM算法的迭代过程，由于不为0的稀疏块增多，算法迭代运行次数增多，算法运行所需的时间增大，算法时效性降低。

5.3 压缩率影响

压缩率M/N越小，干扰重构精度越差，干扰抑制效果越差。CS可以有效地降低系统采样速率，降低系统能耗，节约系统成本，但随着压缩率的降低，测量矩阵和干扰稀疏字典的相干性增高，将导致干扰重构精度下降，干扰抑制效果变差。文献[17]中指出CS中存在噪声折叠现象，压缩采样将导致重构信号信噪比的降低，压缩率越低，重构信噪比损失越大，说明低压缩率下干扰重构误差较大，干扰抑制效果较差。因此，在实际使用中需要在干扰抑制效果和降低采样率需求之间进行折衷处理。

6 仿真实验及结果分析

本节主要通过计算机仿真对算法性能进行验证，仿真参数设置如下。

信号参数：跳频速率为10 000 h/s，数据调制方式为BPSK，奈奎斯特采样速率为2 MHz；待处理跳频信号为5跳，频点为[40 kHz,100 kHz,200 kHz,400 kHz,500 kHz]。

干扰参数：仿真中设置两种梳状干扰梳齿带宽用于对比，分别为20 kHz和30 kHz；梳状干扰覆盖3跳信号，分别为[100 kHz,400 kHz,500 kHz]。

CS参数：选择高斯矩阵作为本节仿真中的测量矩阵，梳状干扰稀疏字典构建如第2节所示。

评价指标：归一化均方误差(NMSE)是衡量信号重构效果的常用指标，选择NMSE作为评价信号重构效果的指标。NMSE定义如下：

(30)

式中：r为原始数据矢量；为重构数据矢量。选择解调误码率作为干扰抑制后信号解调性能评价指标。定义压缩率(CR)评价数据压缩的效果为

(31)

通过分析不同干扰强度、不同干扰带宽以及不同压缩率条件下算法的干扰抑制效果和时间复杂度，对所提算法和基于CS经典算法的干扰性能进行对比分析。

算法能够从压缩数据中有效重构出梳状干扰。相比于其他算法，干扰重构精度更高。图3给出了不同梳齿带宽条件下重构梳状干扰和原梳状干扰的频域对比。仿真中干扰强度设置为30 dB，背景噪声设置为20 dB，压缩率设置为0.5. 从图3可以看出，不同带宽下梳状干扰均能得到有效地重构，干扰重构效果较好。

图4给出了使用不同算法条件下梳状干扰的重构归一化均方误差，仿真结果为1 000次仿真的平均值。图4中对比了使用正交匹配追踪(OMP)算法、BOMP算法、基于边界最优化的BSBL(BSBL_BO)算法、多测量矢量贝叶斯压缩感知(CTSBL)算法[18]、BSBL_EM算法的梳状干扰重构性能。仿真中背景噪声设置为20 dB，压缩率设置为0.5. 从图4可以看出，基于OMP算法的梳状干扰重构误差非常大，说明传统稀疏条件下的重构算法在块稀疏条件下已经不再适用。由OMP算法发展而来的BOMP算法性能受噪声影响较大，因此干扰重构误差也较大。基于BSBL框架的3种算法重构精度较高，说明基于BSBL框架的梳状干扰抑制算法能够实现更好的干扰重构效果，本文所提算法在3种算法中性能最优。

干扰抑制后FHSS信号的解调误码率如图5所示，仿真结果为1 000次仿真的平均值。仿真中背景噪声设置为20 dB，压缩率设置为0.5. 从图5可以看出，相比于经典CS算法，块稀疏重构算法能够实现梳状干扰的重构和对消，提高系统干扰容限。在4种块稀疏重构算法中，基于BOMP的干扰抑制算法的FHSS信号解调性能相比于无压缩采样的FHSS信号解调性能有一定的性能提升，但由于BOMP算法性能受噪声影响较大，当存在背景噪声和FHSS信号时，干扰重构性能差，时域对消后干扰残留仍然较大，FHSS系统抗干扰性能提升不明显。基于BSBL框架的3种干扰抑制算法能够有效地实现干扰抑制，干扰抑制后FHSS信号解调性能相比于无压缩采样条件下FHSS信号解调性能有较大提升。当误码率(BER)为10-4量级时，相比于无压缩采样的FHSS通信梳状干扰抑制能力，窄带梳状干扰条件下3种算法使得系统抗干扰能力分别提升12 dB、14 dB、16 dB，宽带梳状干扰条件下3种算法使得系统抗干扰能力分别提升8 dB、8 dB、10 dB. 说明本文所提基于BSBL框架的梳状干扰抑制是有效的，并且本文所提基于BSBL_EM的干扰抑制算法能够取得更好的干扰抑制效果。

图6和图7仿真了不同压缩率条件下所提算法的性能，仿真结果为1 000次仿真的平均值。仿真中梳状干扰梳齿带宽设置为20 kHz，背景噪声设置为20 dB，压缩率分别设置为0.5、0.4、0.2. 从图6与图7的仿真结果中可知，随着压缩率的降低，干扰重构精度变差，由于干扰重构性能较差，导致干扰抑制不彻底，干扰对消后FHSS信号解调误码率较高。

对比分析了不同带宽条件下5种算法运行所需的CPU时间，结果如表2所示。仿真中干扰强度设置为30 dB，背景噪声设置为20 dB，压缩率设置为0.5. 算法运行所需CPU时间由MATLAB软件的tic-toc命令计算得到。实验室所用电脑主频为2.5 GHz. 将算法进行1 000次仿真所需时间的平均值作为统计结果。从表2可以看出，5种算法所需的运行时间都随着干扰带宽的增加而增加，基于OMP算法的干扰抑制算法运行效率最高，BSBL框架下的干扰抑制算法相比于基于OMP算法的干扰抑制算法运行效率较低，其中基于CTSBL算法的干扰抑制算法运算所需时间最长。因此，综合考虑性能和时效性等因素，本文所提算法具有一定优势。

表2 算法运行时间对比

7 结论

根据FHSS通信的大带宽特性及梳状干扰的频域块稀疏特性，本文提出了基于BSBL框架的FHSS通信梳状干扰抑制方法。得出以下结论：

1)算法不需要干扰检测和参数估计等开销，可以在接近全盲条件下实现FHSS通信中梳状干扰的有效抑制。在梳状干扰覆盖多数跳频频点的情况下依然能够明显提高FHSS通信的抗干扰能力。

2)算法的干扰抑制性能与干扰强度、干扰带宽以及压缩率相关，相同干扰强度和压缩率条件下，干扰带宽越窄，干扰重构精度越高，干扰抑制效果越好。相同干扰强度和干扰梳齿带宽下，压缩率越大，干扰重构精度越高，干扰抑制效果越好。

3)由于使用CS技术，算法能够有效地降低系统功耗和硬件成本，算法应用前景广阔。

通过抑制FHSS通信中的梳状干扰，FHSS通信性能将更加有效和可靠。此外，本文所提出的算法能够较容易地推广到其他扩频系统，进一步提高了该算法的应用范围。