“数学现象”视角下的概念教学

【摘 要】数学现象是形成数学概念的基础。通过揭示数学现象的特点，阐述对数学概念教学的启示：在教学时必须注意调动学生自身的生活经验，让学生在丰富的表象之后把握数学概念的实在性；在教学中教师应注意发现学生在理解概念时的逻辑缺陷，使学生更精准地把握概念的内涵；在教学上要注重数学概念的整体联系，让学生把握概念的结构性。对数学现象的认识是没有止境的，教师要引导学生保持思维的开放性，以便学生接受数学概念的延展。

【关键词】数学现象；数学概念；视角教学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）43-0027-04

【作者简介】水菊芳，江苏省苏州市吴江汾湖高级中學（江苏苏州，215211）校长，正高级教师，江苏省特级教师。

一、问题的提出：什么是数学现象

对于一个对象，人可以有很多种观点，并在任何一种观点下产生相应的联想。对不同的人而言，联想又是千差万别的。例如图1中的一棵树，可以从植物学、生态学、化学等等不同学科视角出发对其进行研究。若在数学家的视野下，则不难看出其枝干数目恰好构成斐波那契数列。图2的向日葵结构中，同样蕴含着一个数学元素——斐波那契螺旋线。一个独立于学习者的头脑之外的客观存在需要学习者的主动探索才能认识，我们可以称它为“现象”。当我们把一个现象放在数学的视野之中的时候，它就成了数学现象。笔者以为，数学现象不是世界中的新事物，它本来就在世界之中，只是被我们拿来作为数学教学的题材时，我们给了它这个称呼。简单地概括一下：数学现象=现实世界+数学观念。同一个客观事实，用数学的眼光去看它，它就是数学现象；用语文的眼光去看它，它就是语文现象；用哲学的眼光去看它，它就是哲学现象。对于数学教学而言，数学现象是师生要共同走进的领域。

数学已经具备了高度抽象化与形式化，再加上高度的自洽性，其自身已有足够的动力和理由让自己存在和发展下去。所以，数学往往远离人们的日常生活。拉近数学与学生的距离，让数学成为认识、改造世界的工具，在当今时代的数学教育中显得尤为迫切。数学现象就是把来自于自然的素材展示给学生，让他们用数学的眼光解析它，在这样的活动和过程中发现数学知识、提炼数学方法、领会数学思想、形成用数学观念理解世界的情感态度。

当现实世界融入数学领域，我们就可以利用数学王国里丰富的知识和工具来研究它，从而实现更深刻、更抽象、更广泛意义下的认识。这就是提出“数学现象”概念的用意和它的价值，也是展开现象教学的基础。

二、概念的比较辨析：数学现象和数学情境

相比于数学情境，数学现象有两点特性：其一，数学现象更加直接地指向客观现实，它强调的是用数学眼光看世界，在没有数学的地方发现数学，把现实中的问题纳入数学的范畴；其二，数学现象不是着眼于对学生调动热情、激发兴趣、强化动机，而是强调人与现实的互动、指向人的意志的实现。现实世界就在那里，人们赋予它数学意义，人们用数学工具去解析它、评价它、改造它，它才成了数学现象。当然，在这个过程中人们也体验到喜悦、快乐和满足，并感受到自身的价值。

数学情境则重在营造学习氛围，面向课堂，为数学知识服务。就过程看，它主要关注设疑激趣，让学生更快更好地进入学习状态。就结果看，它主要指向知识的建构和能力的形成。虽然在情感态度价值观上影响学生，但主要局限在“知识”的层面上，告诉学生“这个知识是有用的”或者“这个方法很有效”。在学习了数学知识过后，情境就被甩掉了。笔者所见过的数学情境教学课例，基本都是在课的一开始用情境引入，从全局看，它只被当作一个很次要的环节，在用过以后就被悄无声息地丢弃了，课堂上被反复提起的是“知识”和“能力”，似乎情境从来就没有存在过。而在课下，学生的记忆、练习、反思、考试等等，所有的学习活动中已经没有了对情境的关注。如果说得不客气一点，大部分情境都是用来“引入新课”的，而引入新课显然不只有这一种方式。

如果说数学情境教学很符合人性，有利于数学知识的建构，那么数学现象教学就很符合人性与自然性的结合，很利于人的身心发展与自我价值的体现。数学现象相比于数学情境，更加凸显、关联真实世界，也更益于学生数学素养的生成。

三、数学现象视角下的概念教学

“盲人摸象”故事告诉我们，尽管盲人们有各种准确的信息，却不能正确地认识大象。因而如果我们要教学生认识大象，一定是把他带到大象实体或者是大象的图片（影像）前，让他们有完整的认知。数学教学也应该这样：给学生一个现象，让他们接受完整而鲜活的数学信息。他们通过自己的信息采集和加工，从而形成的数学知识就是实在的也是容易牢固记忆的。

1.数学现象的选择：基于概念教学的本源。

要加深学生对教材的理解，尤其是对数学概念的理解，我们一定要带领学生走进教材，让他们在原初的概念教学过程中获得体验、获取知识、得到方法，让不同认知水平的学生在课堂中得到发展。

案例1：在教学“向量的概念及表示”这一节新授课时，学生记忆中已经有力、位移等物理学中的概念，这实际上就是一个现象。在数学课堂教学中我们只要提及这些物理学的概念，学生马上就知道三要素：方向、大小和起点。所以笔者在教学时用“速度”这个量来导入。

（1）假设猫奔跑的速度为15m/s，老鼠的速度为12m/s，老鼠在前猫在后，那么猫能否抓到老鼠？（学生回答：肯定行，因为猫有明显的速度值优势。）

（2）假设猫奔跑的速度为15m/s，老鼠的速度为12m/s，老鼠由一点向东北方向逃窜，如果猫由另一点向正东方向追赶（路线与老鼠逃窜没有交点），那么猫能否抓到老鼠？为什么？（学生回答：肯定不行，因为猫虽有明显的速度值优势，但追赶方向不一致。）

通过这两个例子，学生能感受到猫抓到老鼠（数学现象）成功与否的关键不仅仅看速度的大小，还要考虑速度的方向。从而将向量这个概念最本源的要素体现出来，便于学生对向量的理解。

2.数学现象的呈现：重现数学概念的生成。

合理地呈现数学现象，让学生亲身经历数学概念生成的过程，能使他们感受概念形成的思维与现实的互动，让他们体验思维的魅力和数学的智慧。正如数学家波利亚指出的那样“学习最好的途径是自己去发现”。

案例2：笔者在“两角和与差的余弦”新授课推导cos（α-β）的公式时，先给学生呈现了10个层层探究的数学现象。

现象1 不用计算器，求cos-375°的值。（学生通过诱导公式可以化简至cos15°。）

现象2 究竟cos15°等于多少？（学生对15°角余弦的值确实没有办法求解。）

现象3 那你知道哪些特殊角的余弦值？（学生列举了30°、45°、60°、90°等等特殊角的余弦值。）

现象4 那现在的15°与这些特殊角之间有什么关系？（非常多的学生脱口而出15°=45°-30°或者60°-45°等。）

現象5 cos15°是否就等于cos45°-cos30°？（学生由余弦函数的单调性否定了。）

现象6 那cos15°、cos45°、cos30°就没有关系还是它们间存在其他什么关系？如果有关系，那怎么去发现它们间的关系呢？（学生就此陷入思考。）

现象7 除了在三角函数中用过余弦，余弦还在什么知识中遇到过？（学生思考后回答向量的夹角公式。）

现象8 那15°能表示为两个向量的夹角吗？（学生认为可以。）

现象9 那怎么样作这两个向量？（学生动手作图，有很多种情况，但总结下来基本上有这四种情况：①任意作夹角为15°的两个向量的；②放在坐标系里任意作图；③化为两个角的差作图（不妨用60°-45°）；④放在坐标系里两个角的差作图（不妨用60°-45°）。这个时候教师要有意识地选择第4种，启发学生进一步构造向量的夹角公式的模型。）

现象10 再由cos15°类比到cos（α-β）从而解决问题。

3.数学现象的分析：揭示数学概念的特性。

上述的概念本源和概念形成，让学生直观感知了概念的表象，切实经历了概念意义的生成过程，但这些都还不是概念的最终形态。数学是一门高度严谨的学科，概念又是其中最核心的要素，数学概念自有其特殊的属性。特别在最终呈现形式上，数学概念应该体现出实在性、合理性和结构性，这也是学习数学的要求，更是学生提高数学素养的必由之路。

（1）实在性。所有的数学概念，不论数的范畴内还是形的范畴内的，都是高度概括高度抽象的，它们都是人脑的构造物，在自然界中并不存在。比如在自然界中不存在脱离具体物体的1、2、3，也不存在没有厚度的三角形、没有宽度的圆周、没有体积的球面，至于方程、函数、矩阵、变换群等等，无一有具体实在的对应物。但是，一旦它被构造出来，在人的脑海中就必须是实在的。它必须具有意义的清晰性和稳定性，能够被辨认、被区别、被解析、被表达。因而，我们在教学时必须注意调动学生自身的生活经验，让学生能够从感性到理性自主构建概念，在丰富的表象之上体会、揭示数学概念的清晰性和实在性。

（2）合理性。合理性可以明确为：一个数学概念既不应该与其他的概念相矛盾，也不应该是没有价值的。数学概念的合理性来自于它的逻辑必然，它是必要的也是可接受的。从这个意义上说，教师在教学中的主要任务就是发现学生在理解、总结概念时的逻辑缺点，给学生以启发，使学生自己在逻辑上修正、完善，让概念的内涵具备合理性。

（3）结构性。任何一个概念都必然地与其他概念产生联系，一系列的概念终究要形成一个有机的结构，孤立的概念是谈不上“实在性”与“合理性”的，也是没有存在价值的。教师一定要站在高观点上把握数学概念的结构性，才能发现学生概念把握的缺陷，从而给予正确的引导，让学生完善对概念的理解。

概念在最终呈现时的实在性、合理性和结构性，要求在教学时教师要让学生进行实际的活动、达成真实的意义建构、形成明确可感知的心理表征。那种简单的告知、机械的记忆以及只在一个名词上的反复纠缠，都是无效的或低效的教学。

如果要找到一个教学方案以避免“告知”，那么现象教学就是一条绝对值得考虑的途径。让学生在对现象的感悟与辨析中，改造与升华活动经验，在头脑中形成抽象概念。比如案例1中用“猫追老鼠”来进行向量概念的教学，教师不是首先告知学生“什么是向量”，甚至不跟学生说“这节课我们要学习向量”，而是给出猫、老鼠、追及等实际问题，这些都是学生非常熟悉的，不需要投入任何的注意力。但是，“怎样追及”就直接指向了“速度”。教师再于适当的时机提供不同的现象（此处也可以称之为“情境”）变化，学生就能透过现象感受到猫与老鼠跑动的“方向”与“大小”。在实际教学中，学生可以用两手在桌面模仿老鼠和猫进行追及实验，动用多种器官加深对“方向”和“大小”的感知，体会不同速度所产生的不同结果。这时，向量的“观念”就产生了，当然这还不是数学。接下来，再要求他们把速度（其实是向量）画在纸上，并指明自己所画的东西包含了哪些内容，这样的数学化以后，数学上的向量的概念就自然生成了。

4.数学现象的追问：用发展的眼光看待概念。

数学概念是用来描述客观世界的，但是世界本身不能进入人的头脑，人们能够感知的只是它所呈现的一个个现象，通过对现象的认识进而逐步认识世界。显然，因为现象并不是世界本身，故而我们头脑里的概念并不一定是正确的，或许它离真相还很远。基于此，我们就应当引导学生有这样的心理准备：在必要的时候对概念进行改进，以使它符合于更多的现象。

例如，一个简单的问题：什么是“形状相同的三角形”？欧几里得时代认为它是全等的或相似的三角形，等边三角形与直角三角形就是“形状不同”的。数学发展到今天，“形状相同”的概念则由《爱尔兰根纲领》（F·克莱因，1872）给出，具体是这样的：“两个图形的形状相同”是指在某个几何变换下可以由一个变为另一个。在此观点下就有如下的结果：在刚体变换群下，两个全等三角形是“形状相同”的；在位似变换群下，两个相似三角形是“形状相同”的；在仿射变换群下，所有的三角形都是“形状相同”的；在拓扑变换群下，三角形与所有的简单封闭图形（无断裂无扭结）是“形状相同”，不论其边界是直的还是曲的……连简单的“形状相同”概念都是这样，其余的延伸概念就可想而知了。

再回到我们的主题上来。人类的认识总是要进步和发展的，这主要就体现在概念上。认识的进步有两个途径，一是归纳，二是演绎。但是，演绎多半只能在已有的概念框架内进行，这种逻辑推演要么在等价概念之间发现联系，要么是从一般到特殊，不易产生新的知识。归纳则不然，就概念而言，归纳能从下位概念产生涵盖范围更广泛的上位概念，而这种外延上的扩大是从具体的事物和实践开始的，而“具体的事物和实践”就是现象。基于数学现象的教学就是把自然的素材展示给学生，让他们用数学的眼光解析它，在这个过程中发现数学知识、提炼数学方法、领会数学思想。这样的教学，直击数学概念的特性与学生的思维特点，值得我们加以研究与尝试。

【参考文献】

[1]祁平.基于探究的数学哲学思考[J].数学通报，2014（08）.

[2]孙四周.把数学问题还原为数学现象[J].数学通报，2016（02）.

[3]弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.