速度关联关系式的两种创新推导

宋辉武　刘博

摘 要：利用相对运动法和刚体的平面平行运动的相关特点对牵连运动的速度关联关系进行了两种创新推导，并发现这两种推导方式比速度分解法、位移分解法、导数法、等量分解法、功能关系法等方法更加直观易懂。

关键词：关联速度；牵连运动；刚体

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）8-0056-2

牵连运动中的速度关联关系问题即通常说的关联速度问题是高中物理必修二运动合成与分解这一知识点中必讲必练的知识点，最典型的呈现形式就是绳拉船模型，这也是老生常谈的问题。笔者近期阅读了大量文献，在教学过程中也听了很多老教师的授课，发现对这一关系的讲解无非就是速度分解法、位移分解法（微元法）、导数法、等量分解法、功能关系法，无论是推导还是学生理解都较为繁琐。笔者深入钻研后发现利用“相对运动法”与“刚体平面平行运动法”这两种方法可以简洁直观地推导出这一关系。这两种方法中渗透的物理思想对于参加物理竞赛以及大学物理先修课的学生更是大有裨益的，现呈现给各位同行供大家参考。

众所周知，在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但若绳、杆不可伸缩，则两端点的速度是有联系的，我们称之为关联速度。实际上绳连物系通常由于滑轮的存在会使得一根绳子不再是一条直的线段，这看起来与杆连物系不同，但实际上本质都是一样的，不过是表现的形式不同罢了。为了方便，我们以杆连物系进行下面的讨论，绳连物系的讨论思想亦是如此（把绳子拉直考虑即可）。我们都知道，杆的两个端点的实际速度其呈现形式无非就是下面两种情况，如图1、图2所示，不论是哪种情况，皆满足两个端点沿杆方向的分速度相等，这一关系即为大家熟悉的速度关联关系式。下面笔者将采用两种巧妙的方法来推导这一关系。

方法二（刚体的平面平行运动法）：

不可伸缩的杆实际上是一个刚体，杆的运动属于刚体的平面平行运动，可以分解为平动和转动，在没有条件限制的情况下分解的方法有無数种。我们先来考虑图1，假设杆经过非常小的一段时间后位置变到如图5所示的粗线位置上（图示经过放大），这一过程有多种实现方式，下面我们以其中的两种典型的实现方式来展开讨论。第一种分解方式：如图6所示，杆AB可以先沿速度vA的方向平移到图中虚线位置A'B'，然后再绕着A'点转动到达粗线位置A'B"；第二种分解方式：如图7所示，杆AB可以先沿着杆所在直线方向向下移动到图中虚线位置A'B'，然后再绕着杆所在直线延长线上的某一点O转动到达粗线位置A"B"。

下面我们来看一下上述的第二种分解方式中的平动过程，即杆率先进行的沿杆方向的分运动，由于杆不可伸缩，因此会发现若A点运动一段距离，则B点必然要跟着运动同样的距离，此即为沿杆方向的分速度相等的形象、直观的理解方式。可以看出，长久以来我们一直关心的是沿杆方向的平动，而忽视了其转动效应。实际上，我们完全可以利用其转动特点推导得出两个端点的速度关联关系，如图7所示。此时需要考查两个端点A'B'垂直于杆方向的分速度vAsinα与vBsinβ，由于其绕着O点做圆周运动，我们可以设杆长为L，A'做圆周运动的半径为r，则B'做圆周运动的半径为r+L，因此可列：

vAsinα=ωr（1）

下面我们需要求得杆做圆周运动的角速度ω，可以看出在第一种分解方式中转动过程是以过A点垂直纸面的直线为转轴的，而第二种分解方式中转动过程是以过O点垂直纸面的直线为转轴的。虽然平动和转动的分解方式不唯一，但角位移与转轴的位置无关，也就是说角速度与转轴无关[1]，两种分解方式中的角速度是相等的，我们可以通过第一种分解方式求出角速度，如图3所示，

参考文献：

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程·力学[M].北京：高等教育出版社，2004：165.

[2]宋浩杰.牵连运动问题中的速度新解[J].物理教学探讨，2007，25（9）：35，37.（栏目编辑 罗琬华）