三次Cardinal样条插值函数的改进及其性质

杨 虹

（黑龙江科技大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150022）

数控加工的效率会直接影响到加工企业的经济效益，因此，在实际生产和生活中提高加工效率具有十分重要的意义。在机械加工中，数控加工的路径往往较为复杂[1]。近年来，带有参数的有理形式的Hermite插值样条引起了不少学者广泛的兴趣[2]。但这些插值样条不能精确表示二次曲线和工程上常用的曲线[3]。还有学者提出了B样条函数和NURBS函数等，这些函数曲线都较为光滑，但使用时也存在着一些局限性，如求导次数增加、权因子选取等[4]。同时它们都无法实现曲线的调形功能，限制了控制曲线的灵活性[5]。数控加工中，加工曲面有简单规则的曲面，也有复杂曲面[6]。对于加工曲面简单规则时，通常考虑优化螺旋曲线走刀的位点，而无法通过位点获得优化曲线[7]。对于复杂曲面加工时，对每一条待加工曲线都采用从静止加速到目标速度，并在该段终点拐角处减速到零的方法，这样以零速度通过相邻加工段的拐角来避免对机床形成过大冲击[8]。然而，现有的三次样条函数只能够实现钝角、直角情况下外轮廓拐角的加工路径优化，还无法实现锐角情况下外轮廓拐角的加工路径优化问题。这些问题严重影响了零件加工效率。

本文针对样条插值函数曲线灵活性不足的问题，在3次Cardinal样条插值函数的基础上，提出加入多参数的3次Cardinal样条插值曲线的构造方法。通过多参数的调节，可以灵活地描述自由曲线。

1 改进3次Cardinal样条插值函数

在平面上选取4个控制点，设点的坐标为Pk=(xk,yk)，k=0,1,2,3。将曲线分为3段，设第2段的函数：

是由Pk，Pk+1两端点及相邻两个控制点Pk－1，Pk+2确定的函数。u为自变量，A，B，C，D为待定系数。设在控制点Pk和Pk+1处的切线斜率分别与直线的斜率成正比。4个控制点之间的多参数Cardinal样条曲线满足边界条件：

对3次样条函数（1）式求导，得到：将式（2）中的边界条件代入式（1）和式（3），得到：

因此，满足边界条件（2）的第2段的多参数Cardinal样条插值函数表达式为：

加工工件时，外轮廓转角处插入转接曲线，曲线是由控制点列（p1，p2，p3，p4）生成的多参数Cardinal样条插值曲线，p1在平滑处理前的刀具加工段上，p2，p3分别为两条加工段与转角更接近的点，p4在转角之后的加工段上，此4点构成梯形。刀具加工时，要求转接曲线的起始端点向量方向与前一段的运动方向一致，而终止端点向量方向与下一段的运动轨迹相同，从而使得转角运动轨迹具有较好的连续性，完成对数控加工路径拐点的平滑过渡。通过改变参数的值，来改变转接曲线的几何形状。

2 多参数3次Cardinal样条插值函数的性质

当a，b，c，d相等时，函数（5）就是一般的Cardinal样条插值函数。

当a=c且b=d时，若曲线P(u)是由n－1段3次Cardinal样条曲线Pi(u)i=1,2,3,…,n－1构成的，则P(u)∈C1连续。

对于第i段曲线Pi(u)有：

对于第i+1段曲线Pi+1(u)有

因此，第i段曲线Pi(u)与第i+1段曲线Pi+1(u)有如下关系：

故当a=c且b=d时，P(u)∈C1连续。

当a，b，c，d取任意值时，由多参数3次Cardinal样条插值函数的定义可知，采用多参数的形式来表示3次Cardinal样条插值曲线，这使得曲线的状态与所选择的坐标系没有关联，故3次样条插值曲线具有几何不变性。同时，每一段多参数3次Cardinal样条插值函数曲线只与相邻的4个控制点有关，其他控制点的变化不能引起该段多参数3次Cardinal样条插值函数曲线的改变。因此，多参数3次Cardinal样条插值函数曲线具有一定的局部性。由于多参数3次Cardinal样条插值函数中含有多个参数，因此，当选择合适的参数以及4个控制点时，多参数3次Cardinal样条插值函数曲线既能方便地表示直线、圆弧等，也可以精确地表示其他自由曲线。由此可知，多参数3次Cardinal样条插值函数曲线具有灵活性。

3 结语

本文针对样条插值函数灵活性的问题，构造了多参数Cardinal样条插值函数。当参数取不同值时，其具有连续性、灵活性等特点。在控制点不变，增加调节参数的个数时，显然插值函数曲线的灵活性更好。但今后能否找到计算更简便，在运用更少参数的同时能够灵活地描述自由曲线，是十分值得探讨的问题。