“行”“知”统一：数学问题解决的启发式教学设计

□张 昆

（淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000）

问题是数学的心脏，学习数学就意味着解题.那么，数学问题解决究竟具有哪些教育价值呢？数学问题解决是帮助学生理解所运用解决问题的数学知识的基础；数学问题解决是学生形成数学能力、萌发数学观念、建构数学方法、生成数学思想必不可少的途径；数学问题解决是学生体验自我的精神创造性、生发成就感等的情感皈依的前提；数学问题解决是将数学学习所产生的知识与能力迁移到应对新的问题情境（甚至于超过数学的范围）的前提保证.但是，不是所有的教学方式都可以实现上述教育价值.本文主要探讨指向“行”“知”统一原理的数学问题解决的课堂教学，通过启发式教学设计来实现这些教学目标.

一、“行”“知”统一：发挥数学问题解决的教育价值的途径

学生的数学问题解决探究活动行为的发生，就是将所学的数学知识运用到面临的数学问题（数学练习题或现实生活中的问题）所提供的信息中去.于是，首先需要讨论的是学生探究活动展开时的“行”“知”间的内在联系.在“行”与“知”的关系中，哲学家或教育学家常常会产生各自的偏爱，形成各自的取向，有的强调“行”，有的强调“知”，形成两者之间的差异.例如，一个懂得某一数学知识或具备某一数学观念的学生，却不知道在他的计算或证明中运用这些知识或观念解决自己所面临的实际数学问题，即利用知识结构组织与整理问题提供的信息，这就是“知”而难“行”.对于这一现象，有的教师认为学生没有掌握好知识；有的教师认为学生可能掌握了知识，但是不知道如何将知识运用到他所面临的问题信息中去，即缺乏运用知识的能力.

教师在解释一个体的数学问题解决行为所产生的差异可能是一种假象，因为在学生的“行”与“知”的关系中，除了你能看到学生的外在行为（通过观察学生在课堂现场中的活动；或间接的活动成果如学生完成的作业，由此而推测学生曾经发生过的数学解题的心智行为）之外，教师如何知道学生对某一知识理解得怎么样？达到何种程度？这些说明教师在实际教学行为中对“行”与“知”所强调的偏爱与取向方面会具有不同的心理估计.

这就在学生的“行”与“知”，即“机械练习”（行）与“数学理解”（知）之间画上一条鸿沟，两者的界限分明.教师所强调的有效教学应该是通过启发的途径促使学生实现“行”“知”统一.因为，格式塔完形心理学派特别强调“顿悟”即“知”（数学理解）的价值（波利亚所提供的许多例子也是一样），要求学生的“练习”一定要在“理解”的基础上进行，波利亚通过《数学的发现》《怎样解题》等的经典著作都特别强调“行”“知”统一中的“知”（数学理解）的重要性[1].他们都认为没有“数学理解”的解题行为是无效的，对优化学生的心理品质没有作用.这些对数学问题解决的教学设计具有极其重要的指导意义.

然而，必须注意的是，教育家布鲁纳指出，“练习”并不一定必然为机械的，而强调“理解”也有可能滑向引导学生咬文嚼字的心理倾向[2]（奥苏贝尔的有意义的接受学习也阐述了同样的观点）.长期的数学问题解决教学研究的实践经验使我们认识到，数学计算或证明的实践活动可能是达到理解数学概念、规律、法则、方法、观念、思想的必不可少的环节，即以“行”而致“知”.帮助学生理解数学知识的一项比较好的途径就是指导学生运用这一数学知识去解决已经设计好的适当的数学练习题的行为.

我们的理解是，因为一种数学问题解决行为的发生并不是主体意识机能的条件反射式的自然反应，而是在发动组织与整理数学化问题信息行为时，首先必须萌生指导这种行为动作的数学观念，这些数学观念大多数是从学生已经掌握了的数学知识、数学方法、数学思想中转化而来的（或者就是已经形成的数学观念的直接应用），这就要求学生必须对数学知识与面临的问题信息的双向理解进行整合的过程，其实，这一过程就是强调“行”“知”统一：在行动中产生知识（以“行”致“知”），在知识（通过观念）的指导下产生行动（由“知”导“行”），二者相辅相成、不可偏废.

或者，可以进一步说，在一个人还没有意识到对某个数学问题所提供的信息的意蕴之前，要他对这个问题做些什么一定很难实现.因此，在这种哲学层面上抽象地探讨数学问题解决的“行”与“知”的取向，对一线教师数学问题解决的教学设计并没有多大的实用价值，其实，它很难优化数学（特别是一线）教师产生对于具体数学问题解决的教学行为.

对此我们可以提出更为契合的问题：对于某种特定的数学知识的教学，哪种方法或方式最有可能促进学生理解教材（数学知识）？强调运用数学知识解决问题的活动过程是一项重要途径.那么，什么才是达到学生理解数学知识的最有成效的练习题呢？教师如何把教科书上所提供的练习题通过自己的优化设计将其转化为比较具有成效的练习题呢？这些都是数学问题解决的教学设计必须首先要考虑的问题.因为数学问题解决的教育价值非固定不变，而是具有等级层次性，这种等级层次除了决定于问题自身的特点以外，教学设计方式与行为也起着非常重要的作用.

在数学问题解决的教学设计中，教师如何从“行”“知”统一原理获得教学行为上的效益呢？我们发现，从数学教育教学理论上来演绎出比较适合教师使用的教学方式方法是困难的，而从研究成功的数学教师所运用的方式方法中可能更具实践意义，成功的数学问题解决教学行为课例，肯定能对数学问题解决的教学技艺问题，或者对一般的教授比较复杂的数学知识的技术性问题，具有较大的帮助.

二、数学问题解决的启发式教学课例

为了弄清数学问题解决的启发式教学设计的特点，我们首先思考数学问题解决的一般思维活动环节.在数学问题解决的思维活动中，发现决定问题思路的必要前提在于设法操作与组织外在数学化信息（即对题意提供的条件的理解与把握），使题设信息组成某种正确率比较高的“脉络轮廓”，从而由这个“脉络轮廓”决定选择与利用某个（学生已经通过学习掌握了的）具体的数学知识结构解决问题，这主要偏向于“知”；其实，这两者的结合就是解题者已经掌握了的数学“知识结构”与数学问题所提供的信息“脉络轮廓”的互相适应与整合的过程，即“行”“知”统一.这一过程的程序环节有些复杂，概略地叙述如下.

首先，解题者必须对问题提供的信息进行辨别，从中选择并确定出“支点信息”，选择“支点信息”的心理活动又是由外在信息与已经内化、并保存在意识结构中的数学“知识结构”之间的互相吸引、相互诱导、互相渗透、相互调整互为因果的；其次，基于“支点信息”，并在“支点信息”所形成的“凝聚核”的作用下，使“支点信息”与诸多外围信息组织成一种疑似于某一具体“知识结构”的“信息脉络轮廓”；最后，由这种信息“脉络轮廓”提示解题者选择具体的数学“知识结构”来组织与整理信息，当“信息脉络轮廓”与数学“知识结构”合并时，问题也就被解决了.这个过程框架如图1所示[3].

图1

这一发现解题思路的过程，笔者在写作中称之为“数学知识结构封装外在数学化信息”，简称“信息封装”的过程.由此可见，“信息封装”过程实际上就是以“行”致“知”与由“知”导“行”的统一过程.因为，学生在对数学化信息的操作活动中，形成解题主体起承转合的心智活动与肢体活动相互配合、相互验证、相互促进的现实意义，从而萌生数学观念，这些数学观念指导解题行为（肢体与心智）活动的展开，这是以“行”致“知”与由“知”导“行”统一的重要标识.它为教师在数学问题解决中的启发式教学设计提供了方向.对此，我们看下面的课例.

课例已知：如图2，在△ABC中，∠ADC＝∠BAC①.求证：∠CAD＝∠CBA②.

下面是笔者的课堂教学实录（省略号表示学生思维的中断）.

师：在图2中存在哪些相等的角？请大家用记号标示出来.

生1：已知条件∠ADC＝∠BAC中的∠BAC被线段AD分割开来，图形的重叠影响了探索思路的发现.首先解决重叠问题，使我们容易看清图形的本质……

图2

师：一个好建议！大家试一试.

学生活动关键环节实录：首先，把图2中的△ADC平移出来，得到图3与图5，其次，根据已知条件∠ADC＝∠BAC①和要证明的结论∠CAD＝∠CBA②，把图3变换成图4的位置形态（相机板书图形）.

图3

图4

图5

师：请对比图4与图5，你有新发现吗？

生2：比较图4与图5中的这两个三角形之间角的关系可得（相机板书等式）：

已知条件是 ∠ADC＝∠BAC①，

所求结论是 ∠CAD＝∠CBA②，

还有公共角 ∠ACD＝∠BCA③.

生3：分析条件与图形的特点，可知，在这三个等式中，①和③成立，②是要求证的结论，应该成立，但是……

师：其他同学还有什么想法？

生4：我想应用“三角形的内角和等于180°”这个定理……

师：一个绝妙的主意！如何应用？

生5：①②③三个等式的左边三个角是△DAC的三个内角，右边三个角是△ABC的三个内角.把这三个等式左、右两边分别相加，得到各自的三角形内角和为180°，即

∠DAC+∠ADC+∠DCA＝180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°……

师：精彩！下一步怎么想？

生6：由于这两个等式的右边相等（180°），知∠DAC+∠ADC+∠DCA＝∠ABC+∠BAC+∠ACB④.只要将④的左、右两边对应地减去①与③的左、右两边，知结论②成立.

师：通过合作思考，发现这道证明题的思路.请写出标准的证明过程（由学生板书）.

证明：因为 ∠DAC+∠ADC+∠DCA＝180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°（三角形的内角和等于180°），

所以∠DAC+∠ADC+∠DCA＝∠ABC+∠BAC+∠ACB（等量代替），

又因为∠ADC＝∠BAC（已知），∠ACD＝∠BCA（公共角），

所以∠CAD＝∠CBA（等量减等量差相等）.

这一教学过程的特色就在于教师首先通过启发学生从行动出发，展开研究外在数学问题化信息，将它们梳理成信息“脉络轮廓”，学生积极参与活动，获得许多活动成果，笔者对这些成果加以选择与组织（通过相机板书的手段加以表征），启发学生选择应用已经掌握的数学知识结构（三角形内角和定理），解决了问题.它偏向于以“行”致“知”的过程.

这种教学设计通过层层铺垫，促使学生形成完形的心理内驱力，产生了“顿悟”的过程.教师特别善于运用语言与时间的节奏，如对生3的回答，笔者提问“其他同学还有什么想法？”后，据细心的听课教师记录，整个五十多名学生的班级静默了85秒钟，此时，学生都无一例外地沉入于紧张的思考之中.这种沉默才真正是由一个客观事件转换成另一个不同性质的主观事件的契机，它使因果交替，它能产生机缘[4].创新能力的培养，正是出现在如此的课堂静默的“顿悟”过程之中.

笔者只不过运用的是要求学生产生行为活动与诱发“顿悟”的寥寥数语，使用的都是启发性语言，这些语言与组成问题解答过程的具体思路所需要的环节没有多大关系，都是比“数学观念”高一层次的一般性的观念（试图启发学生从这种一般观念中萌生出具体的“数学观念”），即不是直接提示学生发生具体操作信息的行动，而是促使学生萌生出相应的观念指导他们自己的行动，或者说，学生行为产生的命令由学生自己创造出来，整个问题解决时对信息的意义赋予与具体环节构建活动，都是由学生自己操作与思考所主导，由此促使学生自己将外在数学化信息与其已经内化了的“数学知识”关联起来，依据问题信息的特点，选择了合适的“知识结构”进行“信息封装”.

三、优化教师教学行为的启示

做好数学问题解决的启发式教学设计，要求教师在启发学生组织外在数学化信息时，应力求超越信息所指称的符号表层（客观或共性）意义的教学，要由符号表层意义教学走向信息的逻辑编织过程的教学与符号深层（主观或个性）意义的教学的统一.在教育立场上的数学问题解决过程不再是认识结果的符号存在形式，而是在师生互动的交往过程中，基于前人的认识成果，由学生的心理活动赋予外在信息以新的意义系统（具有个性）的过程，如此，突破知识符号的客观性，追问这些符号背后具有怎样的个性心理意义.如果数学问题解决活动不与主体的个性行为结合起来，那么，教学就只会停留在人类固有的认识成果上——精致的符号表征性的解题结果（就是课例的数学过程中证明部分的那种精致表达的结论），这就无法实现数学问题解决的教育价值——认识过程与人性的相遇.

数学问题解决的启发式教学设计的重要特征应该形成符号表征、逻辑形式与构建意义三位一体的整合过程，重在启发学生对外在信息的意义构建活动.这要求教师在先进的教学理念的统领下，选择一系列合适的教学手段、方法与策略，通过努力优化教学行为来达到启发学生解决问题，从而促进学生理解知识，形成能力与情感皈依的目的.教学设计及其实施时教师一般需要具有四类行为：主体教学行为（指导行为、对话行为、呈示行为）、辅助教学行为（学习动机的激发、思维动力的维持、课堂气氛的营造）、课堂管理行为（课堂问题行为的预防或处理）与教学评价行为（学生活动成果评价、学生理解层次评价、教学设计本身的评价）[5].这四种行为统一于教师在课堂中与学生的对话交流中，启发式教学设计就是教师充分挖掘这四种行为中可以启发学生展开思维活动的要素并进行现实中的合理关联，经由精心的设计呈示于课堂，而不是将教师的精致思路发现的结果在课堂上和盘托出.

教师关于数学问题解决的启发式教学设计需要产生的合适教学行为，并非完全从时代的优势教育理念中演绎来的，而是重在观照现代教育理论与对具体的知识性质、学生心理的分析之中与在反思课堂教学行为的实践中，通过再构教学行为而获得的.数学教师教学行为构成要素的基础环节主要体现在互相关联的三个侧面：对要传授的数学知识点（或练习题的思路）的结构所呈现的环节及其连接中介组成序列的理解（教材分析）；对学生萌发数学知识（环节及其连接中介）的心理环节（呈现的是观念形态）的把握（学情分析）；通过创造性工作找到这二者之间的联系（教学法分析），由此设计出合适的教学活动序列（如图6[6]）.

图6

“行”“知”统一原理揭示了数学问题解决的“信息封装”的心理活动过程，它提示了教师启发式教学设计应该努力的方向.知识在数学问题中的应用不是直接的、自动化的过程，而是要解题者梳理信息，辨别信息，从形成的“信息轮廓”中诱发生成观念，才能调用数学知识解决问题，这是一种个性意义赋予或意义生成的心理构建过程.对此，我们应该思之再思，慎之又慎！