植根于教材,着眼于提高—论对课本例习题的再“研究”

广东省广州市禺山高级中学(511400) 唐洁

1 为什么要对课本例习题进行再“研究”

1.1 课本例习题是高考中低档试题的直接来源.

有的试题直接取自教材,或者原题,或者类似题;有的试题是教材概念,例题,习题的改编;有的试题是教材中几个题目,几种方法的综合与开拓;少量难题也是按照教材内容设计的.高考试题是植根于教材,着眼于提高.

1.2 例习题是培养学生解题能力的基本生长点

例习题是学生解题体验的基本来源.离开了课本例习题,学生就找不到解题依据,解题方法,解题灵感.不管多难的题讲解时都要从教材中找知识和能力的生长点,将新的高考题化归为课堂上学过的内容和方法,以不变应万变.

2 怎样研究课本习题,提升学生数学思维

2.1 研究一题多变,接轨高考,培养学生思维的创造性

数学教育家波利亚在总结解题时说“我们必须一再地变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找寻到某些有用的东西为止.”一题多变,变的是形式,不变的是本质.复习课,引领学生挖掘源头,探究一题多变,充分发挥学生的主体作用,激励学生去思考,有利于培养学生思维的创造性.

案例1(人教A版《必修4》第108页习题A组第2题)已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,求|a+b|,|a-b|.

本题考查向量的模,数量积等基础知识,训练学生的运算能力,很基础.师生都认为本题简单,没有新意,没有探究的价值.事实果真如此吗?本人在学生解答完此题后,引导学生对该题进行变式:

在学生解决新的数学问题时,启发学生关注解题过程,归纳提炼出再解题过程中形成的公式:进而再次变式:

(2016高考数学江苏卷13题)如图1,△ABC中,D是BC的中点,E、F是AD上两个三等分点则的值是?

图1

通过对习题的条件变化以及条件和结论的互换逐步引导学生探究问题的本质,由学生得出新结论,最后对接高考,让学生感受一题多变的魅力,从而培养学生的创新思维.

2.2 研究一题多解,培养学生思维的发散性

复习课教学一定要回归教材,用透教材,用活变式(数学知识块模型的变式或数学思维型的变式)不能只依靠教辅资料.而是要依纲靠本,多本综合.并将高考试题和教材对比研究,找到高考试题在课本中的原型,进行拓展并进行一题多解.有利于培养学生的发散思维.

案例2人教A版必修四第二章“平面向量复习参考题B组第5题和第8题”

第 8题:在△ABC中,若那么点O在△ABC什么位置?

在平面向量的复习过程中要充分运用好这两题,充分挖掘它们内涵和价值.这两题启发我们在平面向量的复习教学时要将三角形的四心与平面向量的关系进行整合复习.总结提炼三角形的四心与平面向量关系的常见结论.进一步引申到三角形四心与空间几何的关系的考查.进而对接高考题:

(2016高考四川卷第10题)在平面内,定点A,B,C,D满足动点P,M满足则的最大值是( )

思路一坐标法以A为原点,AD所在直线为x轴,AD的垂线为y轴建立平面直角坐标系如图2,则D(2,0),因为所以P点的轨迹是单位元,设P(cosθ,sinθ),则,所以所以当时,取得最大值故选B

图2

坐标化是平面向量的常规解法,大部分学生能想到,但去A点位原点,用圆的参数表示点P坐标需要老师的引导.并指出如何建系有利于运算.

思路二轨迹法以D为原点,DA所在线为x轴,DA的垂线为y轴建立平面直角坐标系如图 3,则因为所以P点的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆A:(x-2)2+y2=1,设P(x1,y1),M(x,y),由有代入圆A的方程,可得所以点M的轨迹是以为圆心,为半径的圆.所以得最大值转化为圆E外一点B到圆上一点M的距离的最大值问题,即所以动点M是随着动点P的变化而变化,于是引导学生根据相关点P的轨迹求求出点M的轨迹.突破学生的思维,引起学生的极大兴趣.

图3

思路三向量法如图4,设AC的中点为N,则由知M是PC的中点,所以MN是△ABC的中位线,所以所以所以故选B.

图4

此思路是利用纯向量方法进行解决,学生不容易想到取AC的中点N来搭建桥梁.该思路充分体现了平面向量的本质即向量的线性运算.其解答运算小,但能力要求极高.

2.3 研究习题的推广,激发兴趣,培养思维的严谨性

学好数学的有效方法是“再创造”.教师要引导学生对教材习题进行发现,探究出新的结论,进而寻找更一般的规律.长期坚持,不尽能激发学生的学习兴趣,还可以督促学生形成积极主动,勇于探索的学习习惯.

案例3(人教版选修2-1第41页例3)设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率之积是(斜率存在)求点M的轨迹方程.

学生解完本题后,老师引导学生归纳出一般的结论:设点A(-a,0),B(a,0),直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率之积是求点M的轨迹方程.然后再次提出问题:设点A,B是椭圆上关于原点对称的亮点,点M在椭圆上且异于点A,B,记直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,问k1·k2是否为定值?

设点A,B是椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点,点M在椭圆(双曲线)上且异于点A,B,记直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,则k1·k2=e2-1.

在教师的启发下,学生从一道朴实的教材例习题出发,探索研究,得到结论,利用结论解决问题,这就是真正的数学复习课.

3 对课本例习题“再研究”的反思

第一我们平时的教学是将教材分割为知识单点、知识片段来讲授的,所以总结复习课要进行“双基排队”,梳理出重要概念,重要定理.选择出有价值的例习题进行深度挖掘.第二对教材例习题的再研究是数学教师的基本功,也是教师摆脱“题海”盲目和“资料”依赖的必由之路.第三教师要研究高考题,寻找高考试题的源头,带着问题去探究课本的例习题.

笔者认为,对教材例习题的研究是一个不可忽视的问题,发挥教材例习题的重要作用,引导学生回归教材,使数学概念和习题教学落到实处,这才是高中数学教学的正道.