不定方程x2+64=y17的整数解

汪爱红

(甘肃民族师范学院,甘肃 合作 747000)

引言

设A∈N,关于不定方程

x2+A=yn(x,y,n∈N,n≥2)

(1)

解的问题是数论中的一个重要问题。近年来,它引起了人们广泛的关注。文[1] [2]分别证明了当A=4与4n,n=3方程(1)无整数解;文[3]证明了当A=4n,n=5方程(1)无整数解;文[4]证明了当A=46,n=7方程(1)无整数解;文[5]证明了当A=42,n=9方程(1)无整数解;文[6]证明了当A=4,n=11方程(1)无整数解;文[7]证明了当A=42,n=13方程(1)无整数解;文[8]证明了当A=4n,n=15方程(1)无整数解,故本文主要讨论了当A=64,n=17的整数解问题。

引理[1]设M是唯一分解整数环,正整数k≥2,以及α,β∈Z,(α,β)=1,αβ=τk,τ∈M,则有

α=ε1μk,β=ε2vk,μ,v∈M,其中ε1,ε2是M中的单位元素,并且ε1ε2=εk,ε为单位元素。

1 定理

不定方程

x2+64=y17,x,y∈Z

(2)

无整数解。

2 定理的证明

证明 分两种情况进行讨论:

(I)如果x≡1(mod2),则在Z[i]中,(2)可等价地写为

(x+8i)(x-8i)=y17,x,y∈Z

设(x+8i)(x-8i)=ε,则由ε|(2x,16i)=2,得ε只能取1,1+i,2,因为x≡1(mod2),

则x+8i≡1(mod2),因此ε≠2;假设ε=1+i,则N(1+i)|N(x+8i),即2|x2+64。这就与x≡1(mod2)相矛盾,故ε=1。

由此和引理得

x+8i=(a+bi)17,x,a,b∈Z

则有

x=a17-2380a15b2+2380a13b4-12376a11b6+24310a9b8-19448a7b10+6188a5b12-680a3b14+17ab16

(3)

8=b(17a16-680a14b2+6188a12b4-19448a10b6+24310a8b8-12376a6b10+2380a4b12-238a2b14+b16)

(4)

所以b=±1,±2,±4,±8。

当b=1时,由(4)式得

8=17a16-680a14+6188a12-19448a10+24310a8-12376a6+2380a4-238a2+1

即7=a2(17a14-680a12+6188a10-19448a8+24310a6-12376a4+2380a2-238)

(5)

由(5)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14-680a12+6188a10-19448a8+24310a6-12376a4+2380a2-238)=153≠7

故b=1不成立。

当b=-1时,由(4)式得

-8=17a16-680a14+6188a12-19448a10+24310a8-12376a6+2380a4-238a2+1

即-9=a2(17a14-680a12+6188a10-19448a8+24310a6-12376a4+2380a2-238)

(6)

由(6)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14-680a12+6188a10-19448a8+24310a6-12376a4+2380a2-238)=153≠-9

故b=-1不成立。

当b=2时,由(4)式得

4=(17a16+2720a14+99008a12-1244672a10+6223360a8-12673024a6+9748480a4-3899392a2+216)

即-65532=-4×16383=

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-12673024a4+9748480a2-3899392)

(7)

由(7)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-12673024a4+9748480a2-3899392)

=-1748943≠-65532

故b=2不成立。

当b=-2时,由(4)式得

-4=(17a16+2720a14+99008a12-1244672a10+6223360a8-12673024a6+9748480a4-3899392a2+216)即-65540=-25×5×409=

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-1267200a4+9748480a2-3899392)

(8)

由(8)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-1267200a4+9748480a2-3899392)

=-1748943≠-65540

故b=-2不成立。

当b=4时,由(4)式得

2=(17a16+2720a14+99008a12-1244672a10+6223360a8-12673024a6+9748480a4-3899392a2+216)即-65534=-2×32767=

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-12673024a4+9748480a2-3899392)

(9)

由(9)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-12673024a4+9748480a2-3899392)

=-1748943≠-65534

故b=4不成立。

当b=-4时,由(4)式得

-2=(17a16+2720a14+99008a12-1244672a10+6223360a8-12673024a6+9748480a4-3899392a2+216)即-65538=

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-1267200a4+9748480a2-3899392)

(10)

由(10)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-1267200a4+9748480a2-3899392)

=-1748943≠-65538

故b=-4不成立。

当b=8时,由(4)式得

1=(17a16+2720a14+99008a12-1244672a10+6223360a8-12673024a6+9748480a4-3899392a2+216)即-65535=

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-12673024a4+9748480a2-3899392)

(11)

由(11)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-12673024a4+9748480a2-3899392)

=-1748943≠-65535

故b=8不成立。

当b=-8时,由(4)式得

-1=(17a16+2720a14+99008a12-1244672a10+6223360a8-12673024a6+9748480a4-3899392a2+216)即-65537=

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-1267200a4+9748480a2-3899392)

(12)

由(12)式得a2=1,但a2=1时

a2(17a14+2720a12+99008a10-1244672a8+6223360a6-1267200a4+9748480a2-3899392)

=-1748943≠-65537

故b=-8不成立。

所以当x≡1(mod2),不定方程x2+64=y17无整数解。

(II)如果x≡0(mod2),x是偶数,则y也是偶数,令x=2x1,y=2y1,x1,y1∈Z。

则(2)式等价为

(2x1)2+64=(2y1)17

(13)

由(13)式知x1为偶数,不妨令x1=2x2,x2∈Z,代入(13)得

(2x2)2+16=215y17

整理得

(14)

由(14)式可知x2为偶数,则令x2=2x3,x3∈Z,

(2x3)2+4=213y17

(15)

由(15)式知x1为奇数,不妨令x3=2x4+1,x4∈Z,代入(15)得

(x4+1)2+1=211y17

即2x42+2x4+1=210y17

(16)

所以当x≡0(mod2),不定方程x2+64=y17无整数解。

综上所述,不定方程x2+64=y17无整数解。

3 结论

本文主要讨论了当A=43,n=17的整数解问题,得出了不定方程x2+64=y17无整数解的结论与证明。