数形结合思想在高中数学中的具体应用举例

韦杨金

【摘 要】本文阐明数形结合的内涵及应用领域，以例讲解数形结合思想的具体应用，将“数”转化成“形”和将“形”转化成“数”的运用方法，以帮助学生更好地运用数形结合思想方法。

【关键词】数形结合 等差数列 立体几何

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）07B-0117-03

高中数学几乎处处渗透数形结合思想，在高考数学试题中大约 60% 的题型都含有数形结合思想。运用数形结合思想，可以开阔学生的解题思路，提高学习效率。

一、数形结合的内涵及应用领域

（一）数形结合的内涵。数形结合就是通过对数学问题的内在层次与结构进行分析，理清各个条件与结论之间的联系，分析它的代数含义和几何意义，把数学问题的各种关系与空间形式结合起来。利用这种结合，可以迅速地找出解决问题的思路。数形结合的本质在于把抽象、复杂的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，将代数问题几何化，将几何问题代数化。

（二）数形结合的应用领域。数形结合思想作为一种重要的数学思想，在教学过程中有重要的指导作用，在学生学习过程中有重要的价值。在初中数学中就有所涉及，例如在研究一次函数、二次函数、反比例函数的性质时，所使用的方法是先画出函数的图象，再分析图象得出函数的性质。在高中数学中，数形结合思想的应用就更加广泛，例如集合问题、求函数零点的个数、方程与不等式、三角函数、向量、数列、线性规划、复数、解析几何、立体几何等有关问题都运用到数形结合思想。

二、數形结合思想的具体应用

（一）“数”转化成“形”的应用。“数”转化成“形”是我们常用的方法，图形具有形象、直观的特点，在解题时，通常把抽象的难以求解的代数问题转化为图形问题，利用图形的直观性来帮助我们解决抽象的代数问题。譬如，方程零点个数问题、不等式解集问题、复数问题、线性规划问题、数列问题，等等，借助数形结合，这些问题都能快速地找出解决办法，极大提高做题的效率。下面以数列问题为例，说明“数”转化成“形”的应用。

数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，而等差数列以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一次函数，它的前 n 项和是常数项为零的关于 n 的二次函数。因此等差数列的前 n 项和的最值问题可以结合一次函数的图象或二次函数的图象来求解。

〖例 1〗在等差数列{an}中，a1=5，S3=S8，问 n 为何值时， Sn 最大？

〖分析〗这是一个等差数列前 n 项和求最值的问题，解决这个问题有三种方法：配方法、通项法、图象法。下面着重分析图象法。

我们可以利用二次函数图象的对称性来确定 n 的值。构造函数，根据题意可知二次函数的图象开口向下，在对称轴处取到最大值。但值得注意的是，对称轴对应的自变量是否为正整数？如果是正整数，则在对称轴处取到最大值；如果不是正整数，则在与对称轴距离最近的正整数取到最大值。

因为 不是正整数，而与 最近的正整数为 5 或 6，所以 n 取 5 或 6 时，Sn 的值最大。

值得注意的是，利用二次函数图象的对称性，可以快速求出对称轴，即 Sm=Sn，则对称轴为 。另外我们也可以利用几何画板画出该函数的图象来验证，如图所示：

另外我们也可以利用一次函数的图象来解决，结合题意，应为首项大于 0，要使前 n 项和最大，那么第 n 项必须大于等于零，第 n+1 项必须小于或等于零。从图象上来看，点（n，an）位于 x 轴的上方或 x 轴上，点（n，an+1）位于 x 轴下方或 x 轴上。由前面的方法可知 an=-n+6，令 g（x）=-x+6，画出 g（x）的图象，如图所示：

从图象可以看出点 A（5，1）位于 x 轴上方，点 B（6，0）位于 x 轴上，点 C（7，-1）位于 x 轴下方。故当 n 取 5 或 6 时 Sn 的值最大。

结论：运用数形结合思想，以形助数，可以更快地发现解题方法，避免复杂的计算，将复杂问题简单化，提高解题的速度。

（二）“形”转化成“数”的应用。利用几何图形形象、直观的优点，将“数”转化成“形”，用几何图形来解决代数问题，非常方便、快捷。但是几何图形在定量方面还必须借助代数计算，因此，用数论形可以让学生更好地理解几何图形意义下的数量关系。解析几何问题、立体几何问题等都可以转化成代数问题来解决。比如，立体几何中二面角问题、垂直问题、平行问题以及空间两点间的距离问题等，我们可运用向量法来解决。一般步骤：（1）建立空间直角坐标系；（2）将题中的点用坐标表示、线用向量表示；（3）把题中的几何关系转化为代数表达形式；（4）求解出代数结果，并转化为几何结论。下面以 2017 年全国高考理科数学（全国卷 1）的第 18 题第（2）小题为例。

〖例 2〗如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°。（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖分析〗求二面角 A-PB-C 的余弦值，利用几何法必须先找出该角，才能在相应三角形中利用正、余弦定理或三角函数的知识求出该角的余弦值，但过程相当麻烦，单是找二面角就是一个难题。因此我们可以换一种思路，借助向量。因为面 APB 与面 PBC 的法向量的夹角与这两个面的二面角互补，所以我们可以先求出面 APB 与面 PBC 的法向量的夹角。

〖解〗以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。

结论：利用直角坐标系和向量，把几何问题转化成代数问题，使得复杂的几何问题简单化，解题过程简单易行，运用的知识也比较简单易懂，使得学生更加容易接受和吸收。

高中数学中数学思想方法有很多种，而数形结合思想使用的频率最高。学生要掌握这一思想的使用原则，并能灵活运用该思想来解题。如果这样，那么就能提高解题效率，提高学生的逻辑思维能力和推理能力。因此教师在教学中应重视数形结合思想的应用，在遇到能够用该思想解题的题型时，要用这种思想方法来解答。

【参考文献】

[1]韦柳荣.数形结合思想在解题中的应用[J].学周刊，2013（23）

[2]韩玉红.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].数学研究，2017（2）

[3]于瀚钦.等差数列前 n 项和的最值问题中的一题多解[J].中学生数理化，2016（11）

（责编 卢建龙）