逆向思维在数学解题中的应用

李宇平

摘要：在高中数学题目中，如果采用常规方法解题比较困难时，逆向思考往往能使解题过程更顺畅。在本文中，笔者将运用例题来解析用逆向思维解题的过程，为同学们提供一套展现逆向思维在数学解题中的魅力，提高數学解题的能力。

关键词：数学学习;逆向思维

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】2236-1879（2018）13-0032-02

高中数学中存在很多的逆向关系，如因式分解和整式乘法在知识结构上互逆，求代数式的值和解方程互逆，几何中“性质定理”和“判定定理”互逆等等，我们在做题时注意数学中的逆向关系，平时多总结关于互逆关系的题目，抓住题目的本质。

在数学解题中，对一个数学问题思考不出来时，我们换一个角度去思考，从结论往回推，倒过来思考采取正难则反的思维策略，找到解决问题的捷径。中学课本中的逆用算，反证法，分析法等都涉及到思维的逆向性，只要我们多注意定理、公式的逆用，正难则反，往往可以使问题简化。

1.逆向思维的定义及原理

所谓逆向思维，是指与原先思维相反方向上的思维。与同向思维一样，逆向思维在数学解题中也有着广泛的应用。逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。

所谓逆向思维法，就是指人们为达到一定目标，从相反的角度来思考问题，从中引导启发思维的方法。

面对新事物、新问题的时候，我们应该学会从事物的不同方面，不同角度来分原研究新事物、解决新问题。我国古代有“曹冲称象”的故乡，曹冲没有按通常思维去考虑如何直接称象，而是反过来考虑大象的等重量物，即一堆石头如何称，这就是一个很好的逆向思维应用的例子。19世纪40年代，英国的物理学家焦耳（1818-1889年）曾致力于研究不消耗能量的永动机，他用去了许多时间，但毫无结果，验证永动机是不可能制造出来的，从而发现了能量定恒和转换定律。

逆向思维就运算而言，主要为逆运算的研究;就逆命题的研究而言，逆向思维的基本功能就是可以借以发现原命题中的前提是否为相应结论的充要条件。这对于深入认识有关概念的本质特征并促进概念的精确化显然是有重要意义的。

例如，在证明（欧氏）平行公理的长期努力中，有不少数学家曾认为自己已经获得了成功，但后来却被发现往往是在证明中自觉或不自觉地引入了某种假设，而通过逆命题的分析又可发现这些假设中的大部分是与平行公理相等价的。由于这种研究澄清了原先的错误认识，从而也就加深了人们对平行公理（也即平行线概念）的理解。因此，逆向思维从另一侧面促进了认识的发展。

鉴于此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正向思维转到逆向思维的能力，它正是数学解题能力增强的一种标志。而刚进入中学的学生，还不习惯反过来思考，倒过来想，即不善于逆向思维。因此，在数学解题中，应加强逆向思维训练。只要我们平时多注意公式、概念、定理、规律性例题的逆运用，常常会使问题得到简化，经常性地注意这方面的训练可以让学习者的思维得以灵敏。

2.逆向思维解题的原理及解题过程

【例题l】逆向思维分析法求证

分析法就是分析命题成立的充分条件，把命题转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。针对这道题，可采用分析法来求证。

证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难，例如，在题3中，我们很难想到从“21<25”人手，因此，分析法是解决数学问题的一种有效捷径。

【例题2】逆向思维定义法求解y=f（x）

在数学解题中，“定义法”是一种比较常见的方法，但我们经常忽视定义的逆用，只要重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使问题解答简捷。

根据函数和它的反函数的图像的特点，逆向考虑，先找出函数y=f（x）的图像所通过的点，将函数y=f（2x-1）的图像先向左平移，再将横坐标扩大为原来的两倍得到函数y=f（x）的图像，这样y=f（x）过点（0，1），则y=f（x）-1的图像必过点（1，0），故选C.

【例题3】逆向思维反证分析法证明“圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分”

证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

正面我们很难人手，我们采用反证法证明。

假设圆的两条不是直径的相交弦可以互相平分。

00中，AB与弦CD相交于点P，且AP=BP，CP=DP，连结OP.

AP= BP.

OPAB（平分弦的直径垂直于弦）

同理CP= DP，

OP= CD.

这样，过点P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直这点“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，所以，假设错误，因此，原命题成立！即圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

【例题4】逆向思维在排除法求解f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+l

在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是借有些选择题的有效捷径解法。

题5，若二次函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]内至少有一个点C，使f（c）>0，求实数P的取值范围。分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单。

如果在[-1，1]内没有点满足f（c）>O

即为满足条件的p的取值范围。

3.结束语

在数学解题中，根据问题的特点，在应用正向思维的同时，注意逆向思维的应用，总结应用逆向思维的题目，经常性地注意这方面的训练，对我们题高数学解题能力有很大的作用。

参考文献

[1]张兰云，浅析数学教学中对学生逆向思维的培养[J].中学数学，2018（17）：37-38.

[2]凌银银，加强数学解题教学培养学生逆向思维刍探[J].成才之路，2018（24）：38.

[3]田星，关于数学解题中逆向思维的应用[J].数学大世界（上旬），2018（07）：6.