基于混合蚁群算法的小波逼近

谢喜云 李宏民 李 文 曾 靖

1(湖南理工学院信息与通信工程学院 湖南 岳阳 414006)2(湖南理工学院物理与电子学院 湖南 岳阳 414006)

0 引 言

短时傅里叶变换(STFT)是分析非平稳信号的常用方法，其基本思路是给信号加等长的时间窗，但窗长度难以确定，太长导致时间分辨率差，太短造成频率分辨率低。针对STFT处理非平稳信号中的不足，具有多分辨率分析特点的小波变换技术应运而生。小波变换是一种分析与处理非平稳信号的理想工具，被广泛应用于信号处理领域。传统小波变换采用数字方法实现，但其存在运算量大而难以满足实时性要求，同时需要A/D转换，造成功耗高等缺点。为满足低功耗、低电压和实时性等应用要求需要，研究模拟电路实现小波变换具有重要意义。

文献[1-7]已利用模拟电路技术实现了小波变换，其首要任务是小波函数的逼近，逼近精度决定电路实现的质量。可以直接得到频域传递函数的频域逼近法在实际应用中较简便，但逼近方法少。时域逼近法较多，获得的逼近函数经过H(s)变换后获得频域函数。文献[8]提出了基于Pade变换的小波函数逼近法，该方法简单且在频域逼近中应用广泛。但存在以下问题，限制了其实用性：(1) Pade逼近法难以确定最优逼近点s0，如果未选择到合适的逼近点，会导致逼近效果差；(2) 有理函数的分子和分母中，多项式的次数不易选择，难以确保逼近系统的稳定性；(3) 时域和频域的误差精度无法同时保证。文献[9]提出了基于L2的时域逼近法，该法在很多程度上克服了Pade逼近法现有的诸多缺陷，在时域优化中，可以获得较好精度的小波逼近函数。但该方法也存在不足：(1) 计算比较复杂；(2) 采用了局部最优算法最小二乘法，初始值的选择比较关键，否则容易陷入局部最优。

针对上述文献中小波函数逼近法出现的问题，文献[2]提出了混合遗传算法的小波逼近，不仅加快了收敛速度且在一定程度上提高了精度；文献[6]提出基于改进差分算法的小波逼近方法，但对于多峰值的小波函数而言，逼近效果较差。为了进一步丰富小波逼近方法，得到更高精度的小波逼近函数，本文提出基于混合蚁群算法的小波逼近法。混合蚁群算法是解决全局优化问题的有效方法之一，该算法以一种用于快速全局优化的蚁群算法[10]搜索全局最优值，将该值作为SQP(序列二次规划)的初始值，再用SQP精细搜索得到最优解。利用混合蚁群算法，逼近的小波函数具有更好的精度。

1 小波变换原理

设小波基函数为ψ(t)，输入信号f(t)∈L2(R)，及f(t)为平方可积函数，那么f(t)的连续小波变换(CWT)定义为：

(1)

式中：ψ*(t)是ψ(t)的复共轭，可以看出，小波变换包含两个连续变量a和τ。其中：a为尺度因子，控制小波函数的伸缩，缩放得窄对应高频，提供隐藏在信号中的详细信息，扩展得宽对应低频并提供信号的全局信息；τ为平移因子，控制小波函数的平移。即尺度a对应于频率信息，平移量τ对应于时间信息。根据模拟滤波器理论可知，式(1)可以看成是信号f(t)与小波基ψ(t)的卷积运算。

只有小波变换逆变换存在时，小波变换(WT)才有意义，因此母小波要满足容许条件：

(2)

从容许条件可推出Ψ(0)=0，即式(2)的同等条件为：

(3)

式中：Ψ(w)是ψ(t)的傅里叶变换。式(3)说明小波基函数必为震荡波形且ψ(t)的平均值为零，这就是ψ(t)被称为“小波”的原因。从频域中看，容许条件的约束使得小波基的傅里叶变换具有带通性质，即小波函数在频域相当于带通滤波器。如果输入信号f(t)经过滤波器后，相当于f(t)与滤波器冲激响应h(t)做卷积运算，得到的输出信号可表示为：

(4)

为清晰观察和对比式(1)和(4)，对两式做一定的数学变换，式(4)中，t和τ都表示连续变量，只是写法不同，没有本质区别，因此将两变量调换得：

(5)

同时，式(1)可以写成：

(6)

从式(5)和式(6)可知，不同尺度a下的小波变换可看成是信号f(t)通过冲激响应为h(t)的小波滤波器后的输出：

(7)

只有满足因果性的系统才可以用模拟电路实现。通常小波基函数都无因果性，因此必须将小波基做时移操作，使其具有因果性。模拟电路实现小波变换是一个近似的结果，误差大小取决于对时延小波基函数的逼近程度，因此寻找小波基逼近函数非常关键。

2 混合蚁群算法的模拟小波基构造

2.1 构造模拟小波基的优化模型

(8)

式(8)的最小化即最小均方误差准则下的连续时间模型：

(9)

根据线性系统理论可知，在时域中，有限阶n的因果线性滤波器可以由脉冲响应函数h(t)表示，其拉普拉斯变换为H(s)。对于具有不同极点的稳定系统，一般情况下，冲激响应h(t)可以写成衰减指数信号和和指数衰减谐波信号线形组合的形式。因而对于低阶次的系统而言，采用通用的h(t)表达式便于逼近小波函数。例如，N阶滤波器冲激响应h(t)可以写成以下形式：

k+2m=N,t≥0

(10)

式中:ai,bi,cj,dj,fj和wj为实数，在式(3)中，已描述了小波函数的积分为零，即：

(11)

因此，逼近的小波函数也要满足该条件，即对于逼近小波函数而言，需加上附加的约束条件：

(12)

(13)

式中:n表示采样点数，M为采样点总数，Δt为采样时间间隔。由式(13)可知，这是一个非线性优化问题，文献[9]提出的最小二乘法对初值敏感易收敛，且容易陷入局部最优，难以获得全局最优。智能优化算法在求解复杂优化问题表现得尤为强大，因此，采用混合蚁群算法来求解模型式(13)最优解是一个很好的选择。

2.2 混合蚁群算法

意大利学者M.Dorigo等在20世纪90年代提出的蚁群算法(ACO)是一种基于种群的启发式随机搜索算法。这个算法的基本原理是：当蚂蚁寻找食物时，它们会在通过的路径上释放一种特殊的物质，该物质称为信息素，蚂蚁通过信息素进行交流，根据残留在路径上信息素的多少，找到离蚁穴路径最短的食物源。蚁群算法采用分布式计算，鲁棒性强且易与其他算法相结合，因此被广泛应用于解决优化问题。文献[10]针对蚁群算法不适合求解连续问题，易陷入局部极值的缺点，提出了一种快速全局优化的蚁群算法。该改进蚁群算法采用的是在最优解蚂蚁附近进行搜索且将本次获得的最优解作为起始解的搜索方式，用来扩大搜索的范围，避免陷入局部最优。主要的不同在于将蚂蚁移动的规则分成两部分：(1) 将上次循环中未寻到最优解的蚂蚁往最优解方向移动；(2) 让寻得最优解的蚂蚁在最优解附近进行搜索，以便在以后的搜索中得到更加精确的解。其中，针对规则一设置转移概率公式如下：

(14)

式中：t(i)为蚂蚁i处的信息素，t(best)为蚂蚁在最优解处的信息素。针对规则二，移动公式如下：

(15)

式中：xbest为上次循环获得最优解，xtbest为当前最优解。在按照上述规则搜索后，对蚂蚁i处的信息素更新，规则如下：

t(i)=ρ×t(i)+Δt(i) 0<ρ<1

(16)

Δt(i)=ka-f(xi)

式中：ρ为信息素挥发系数，f(xi)表示目标函数的最小值。

虽然改进蚁群算法全局搜索能力得到改善，但是它仍然是一个随机搜索方法，其局部搜索能力有限，而SQP算法有很强的局部搜索能力，可在很短的时间内搜索到局部极值点。但对于多极值复杂的函数，SQP对初值非常敏感，易陷入局部最优难以获得全局最优。因此，我们将改进蚁群算法与SQP算法结合，形成互补的混合蚁群算法，该算法由两部分组成：(1) 对优化问题，用改进蚁群算法求解得到全局解；(2) 将该全局解作为SQP的初始值，启用该算法进一步搜索精确值，得到全局最优解。

3 常用小波函数逼近

为了验证构造的小波逼近函数模型和混合蚁群算法的优化性能，本文以常见的小波为例进行验证。

(1) 高斯一阶导数母小波为：

ψ(t)=-2(2/π)1/4te-t2

(17)

为了获得因果系统，需要对小波函数进行时移操作，时移的选择需要在能量损失和延迟之间进行平衡。在这里，对小波系统函数向右平移两个单位，时移后的高斯一阶导数母小波为：

ψ(t-2)=-2(2/π)1/4(t-2)e-(t-2)2

(18)

采用2.1节介绍的方法构造逼近模型，在实际应用中，阶数越高会使电路设计变得复杂，阶数低会降低逼近精度。因此，逼近阶数和逼近精度之间要进行综合考虑，这里取逼近阶数为5，则ψ(t-2)的5阶逼近模型h(t)为：

h(t)=b1eb2t+b3eb4tsin(b5t)+b6eb4tcos(b5t)+

b7eb8tsin(b9t)+b10eb8tcos(b9t)

(19)

式中：bi(i=1,2,…,10)为待定系数，为了确保系统的稳定，要求bi<0(i=2,4,8)。t∈[0,8]，定义h(t)与ψ(t-2)之差的平方L2范数为：

(20)

在t∈[0,8]等间隔取400个点，那么，h(t)与ψ(t-2)的逼近误差平方和为：

(21)

式中：Δt为时间间隔，其值设为0.02。

根据式(13)建立数学模型：

(22)

这是一个复杂且带有约束的10维度的非线性优化问题，采用混合蚁群算法求解该模型。在混合的蚁群算法中，设定蚂蚁个数为100，最大迭代次数为1 000，变量取值范围为bi∈[-4,0],i=2,4,8，其余参数设置为[-4,4]，信息素挥发系数ρ设置为0.9。经过10次实验，选出最优的全局最优解，将该最优解作为SQP的初始值，执行SQP算法，迭代次数设置为10。其搜索的最优结果如表1所示。

表1 高斯小波逼近函数的最优系数

将表1中的10个优化参数代入式(19)，获得小波逼近函数h(t)，并将h(t)进行拉氏变换，获得H(s)为：

(23)

采用本文方法求得的5阶时域逼近函数波形与理想高斯小波的对比如图1所示，混合蚁群算法的逼近误差和为2.905×10-4。

图1 高斯小波函数逼近

(2) 研究Morlet小波，其表达式为：

ψ(t)=cos(5t)e-0.5t2

(24)

由式(24)可知，实Morlet小波是一个偶函数，反褶以后的函数是本身，为了得到因果系统，将其平移3个单位，则预处理后的Morlet小波函数为：

ψ(t-3)=cos[5(t-3)]e-0.5(t-3)2

(25)

在这里取N=5，其有理逼近分式在时域中可写成：

h(t)= [k1ek2t+k3ek4tsin(k5t)+k6ek4tcosk(k5t)+

k7ek8tsin(k9t)+k10ek8tcos(k9t)]cos[5(t-3)]

(26)

式中:ki(i=1,2,…,10)为待定系数，为保证系统的稳定，待定系数k2、k4和k8必须小于零，在区间t∈[0,12]等间隔采样600个点，h(t)与ψ(t-3)的逼近误差平方和定义为：

(27)

式中：Δt=0.02，采样点数为600，建立优化逼近模型为：

(28)

采用混合蚁群算法进行优化求解，获得逼近函数，求得的最优解如表2所示，此时误差为3.790×10-4。文献[2]是在区间[0,6]取600点，用混合遗传算法求解模型，逼近误差为2.842 9×10-4，若采用混合蚁群算法求解，逼近误差降低至3.066 7×10-5。在此区间内，小波逼近函数都可以很好地拟合Morlet小波，但小波逼近函数未产生衰减。

表2 Morlet小波逼近函数的最优系数

将表中的参数代入时域逼近函数，并做拉普拉斯变换，获得H(s)为：

(29)

式中：

A0=8.276 4×106A1=1.524 7×106A2=1.966 5×106

A3=0.261 9×106A4=0.172 5×106A5=0.016 1×104

A6=0.007 1×106A7=423.364 4A8=137.089 2

A9=4.007 9B0=1.403 2×105B1=-1.787 2×104

B2=1.556 8×104B3=0.355 2×104B4=-0.028 1×104

B5=0.032 9×104B6=-0.003 9×104B7=7.197 3

B8=-0.476 32B9=0.034 1

小波逼近函数与理想Morlet小波对比如图2所示。可以看出，本文采用的小波函数逼近方法能有效逼近小波基函数。

图2 Morlet小波函数逼近

为了突出本文方法优势，现与已有的几种方法构造的小波基函数对比，结果如表3、表4所示。可以看出，混合蚁群算法逼近误差均小于Pade逼近法、L2逼近法和混合遗传算法[2]，其中，Pade法逼近误差最大。因此，本文采用的混合蚁群方法优于L2逼近法、Pade逼近法和混合遗传算法。

表3 不同方法逼近小波基函数误差比较1

表4 不同方法逼近小波基函数误差比较2

4 结 语

为了在模拟电路中实现小波变换，提出了一种逼近小波基函数的新方法。首先，建立逼近小波基函数的数学模型。然后，采用混合蚁群算法求解优化问题。由于快速全局优化的蚁群算法本身是一种求解优化问题的最有效方法之一，具有收敛速度快，寻优精度高，有更好的优化结果，再把最优结果作为QSP算法的初值，启用QSP精细搜索得到最优解。该方法克服了Pade逼近法和L2逼近法中的不足，能够有效地逼近小波基函数，且逼近精度优于pade法、L2逼近法和混合遗传算法。