积累基本活动经验 发展数学核心素养

范东晖

(浙江省宁波市北仑中学 315800)

《普通高中数学课程标准(2017年)》(以下简称《课标(2017年版)》)的颁布，不但注重了与《义务教育数学课程标准(2011年版)》的衔接，而且实现了从知识立意到能力立意，再到素养立意的跨越.《课标(2017年版)》指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)[1].首次在高中课程标准中提出基本活动经验是数学学习的基础.

基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验，需要在“做”的过程和“思考”的过程中沉淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.[2]笔者认为，重视基本活动经验是对传统数学学习的一个认识上的提升.形成和积累基本活动经验不仅是“四基”的组成部分，也是提高“四能”(提出和发现问题、分析和解决问题)的有效手段，还是培养“三会”(会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界)的重要途径，更是发展学生数学核心素养的基本方法，对于学生自主学习、可持续发展具有重要意义.

对于学生来说，基本活动经验的获得、提升、迁移需在“做”中获，“思”中提，“悟”中移.因此，在教学活动中，教师应帮助学生在知识形成中构建逻辑体系，在解题训练中掌握解题方法，在学习活动中积累基本经验. 笔者提出了高中数学课堂促进学生基本活动经验积累的四个途径.

1 在操作观察活动中唤醒基本活动经验

欧拉指出：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……只有观察才使我们知道这些性质.”观察实践是数学家寻找、发现真理的手段，而且是重要的起始阶段，数和形的研究都如此.但这种经验性认识更多的时候是“内隐”的、“蛰伏”的，需要我们去唤醒它，需要我们对它进行梳理．我们可以借助外显的手段，如操作观察活动等方法来了解和分析学生的数学活动经验.

不过，如果只通过教师“替代性”的提供学生观察演示活动来证实假设，只能给学生“替代性经验”——“观察经验”，是不太可能成为数学活动经验的.在观察演示活动中，学生只能看到观察对象的外在表征活动，缺乏自主实践，很难成为基本活动经验.因此，要让学生自己动手操作实践，经历由迷茫困惑到逐步清晰，甚至能自主地提出假设的过程，产生一些创造性的思维活动结果，达到唤醒根植于内心的、“接地气”的、真实有效的活动经验.

案例1直线与平面垂直判定定理的实验探究

实验准备：一些三角形、四边形和其他形状的卡纸.

实验操作：沿纸片指定边BC上的任意一点D翻折一次，得到折痕，同时将底边BC分成了BD和DC两段，然后将纸片放置在水平桌面上(BD，DC与桌面接触)，观察折痕和桌面的关系.

问题1：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？

(如图1，图2，图3，当折痕与BC垂直时)

图1

图2

图3

问题2：在你翻折卡纸的过程中，卡纸的形状发生了变化，哪些线的关系是不变的呢？

(折痕与BD，CD垂直关系不变)

问题3：如果我们把折痕抽象为直线l，把BD与CD也抽象为直线m、n，把桌面抽象为平面α(如图4)，那么你认为保证直线l与平面α垂直的条件是什么？

(一条直线如果与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.)

图4

本节课是直线与平面垂直判定的新授课，学生已经掌握了线面位置关系的相关知识，也已经研究了线面平行的判定和性质，具备初步操作经验，本实验通过放手让学生大胆翻折，激发学生自主操作、深入探究的欲望，让学生在动手实验的过程中，不仅对立体几何有直观上的感知，提高空间想象力，而且概括出折纸结果所反映的数学本质，从而归纳出直线与平面垂直的判定定理.在这个过程中，学生获取了探究数学结论、定理的活动经验，发展了直观想象、数学抽象、数学建模等核心素养.

问题中蕴含着数学活动经验的“种子”，在探究问题的实践操作中，除了帮助学生积累数学观察的经验外，还要让学生在观察后学会用语言来概括结论，以及注意引导学生发现和提出问题，这种经验为归纳推理奠定基础.

2 在合情推理中获取基本活动经验

数学学习活动若仅停留于感性层面的生活经验或活动经验，那是肤浅的，需要通过一定的活动方式，将数学思维活动上升到理性层面，揭示感性经验背后的理性数学经验.

数学推理作为思维活动的主要表现形式，包括合情推理和演绎推理.合情推理是一种合乎情理的推理，是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.

归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理.归纳推理作为从特殊到一般的推理，对于发现数学结论、创造数学命题具有重要作用.数学中各种各样的猜想，如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想等的提出大多是归纳推理的结果.还有如通过研究一些特殊多面体(三棱锥、四棱锥、五棱锥等)的面、顶点的个数以及棱的条数的关系，归纳得到欧拉公式：F(面)+V(顶)=E(棱)+2.

案例2多边形数的归纳与推理

正方形数N(n,4)=n2，

六边形数N(n,6)=2n2-n,……

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=______.

……

推测k边形数

除了归纳推理，数学推理中也常用类比推理.数学教育家G.波利亚曾指出：类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比问题.如把三角形作为四边形的类比对象，把圆作为球的类比对象，还有向量与数的类比，不等与相等的类比，无限与有限的类比等等.

案例3数系扩充与复数引入的教学分析

为了使负数可以开方，应引入一个怎样的新数？通过类比把思路引导到：“引入一个新数，使它的平方等于-1”，学生在具体研究过程中，提高发现和解决问题的能力，积累数学基本活动经验，发展逻辑推理等核心素养，培养创新意识和能力.

关于合情推理，波利亚曾有精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜想这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家的创造性的工作是论证推理即证明，但这个证明过程是猜想、合情推理发现的”.

3 在演绎推理中提炼基本活动经验

解题是学生学习数学的“重要目标”，对于有些优秀学生来说，能根据自己的解题经验，对解法常有“先见之明”，能够有效回避很多弯路，尽管有时走点弯路也是一种收获，但能更好更快地解决问题始终是一种“不懈追求”.数学思维中，演绎推理作为从一般到特殊的推理，逻辑形式上依据三段论，是一种严密的数学推理. 演绎推理是命题内涵逐渐小下来的推理，所得的结果是往往是“大前提”下的一个“小结论”，尽管本质上没有创新，但有时会给我们数学解题提供“快捷方式”.

案例4随机变量方差计算的研究

设0

ξ012P1-p212p2

则当p在(0,1)内增大时

A.D(ξ)减小

B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先减小后增大

D.D(ξ)先增大后减小

因为p∈(0,1)，故D(ξ)先增后减.

演绎推理与归纳推理往往相互作用、相得益彰，通过归纳来预测结果，再通过演绎来验证结果.

案例5数列中的公式推导

=32；

=(3+1)3=43.

①

下面用数学归纳法证明①.

(1)当n=1时，左边=右边=2，①成立.

(2)假设当n=k时，①成立，即

当n=k+1时，

由归纳假设可得

=(k+2)k+1，

所以当n=k+1时，①也成立.

根据(1)(2)，可知①对一切正整数n都成立.

数学学习的结果，除了掌握知识和技能，领会数学思想外，还有经长时间学习实践后积累形成的思维模式，这种思维模式是在操作观察的基础上，从简单问题入手，逐步归纳与猜想，不断检验和修正，发现、感悟问题的本质和问题之间的关联，并学会演绎地证明问题.学生需要积累大量这样的基本活动经验，提高思维品质. 促进科学精神、理性思维的发展，培养学生的创新能力，需要让学生经历这两种推理(演绎推理与归纳推理)过程，尤其是归纳推理，从中积累经验，为学生将来的发明和发现奠定基础，这是数学基本活动经验提出的初衷.[4]

4 在反思感悟中内化基本活动经验

数学学习的类似性使得学生所积累的基本活动经验具有很强的迁移性和认同性，这些带有个人认知特征的经个人感悟内化的经验对学习新知识是很有帮助的.促进学生获得并积累数学活动经验，需要研究、实践如何创设基于学生数学学习需要的活动情境，激发学生的活动动机，调动他们已有的知识和经验，促进他们主动、积极参与到数学活动中，经历参与、内化、反思等数学活动的全过程，及时激发、总结和提升数学活动经验.[5]

案例6幂函数、指数函数、对数函数的研究思路

在学生学习上述函数的过程中，教师要引导学生进行总结、反思、感悟，完成自我内化与建构，相互交流，补充完善，提炼函数学习的经验：

1.获得函数定义的经验：舍去具体的背景与意义抽象出数学模型；

2.画函数图象的经验：经历“三部曲”——列表、描点、连线；

3.研究函数性质的经验：首先考虑函数定义域及奇偶性对函数图象位置的影响，再次考虑解析式中的参数对函数单调性的影响，以及特殊点、取值、图象趋向等性质；

4.研究函数过程的经验：获得研究的一般思路(模式)，抽象函数模型——形成函数定义——画出函数图象——探究函数性质——应用函数性质……

在知识的形成过程中，学生经历初始想法、尝试错误、调整完善等思维过程，教师要引导学生根据所学内容，特别是主题(单元)教学内容，结合所经历数学基本活动经验，提供反思和内化活动的时空，多角度思考知识和方法之间的联系，进行主体建构，深度思考，提升思维，建立更高层次的认知结构，能“数学地思考”，举一反三，迁移到其他数学知识的学习中，发挥一般观念的思维引领作用.

总之，数学教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生发展《课标(2017年版)》提出的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等数学核心素养.在教学过程中,引导学生借助观察实践、数学推理、反思感悟，进行比较、概括、抽象等数学思维活动，明确思维模式产生的结构，以便形成一种可以迁移的“数学活动图式”，从“经历”走向“经验”，提炼具有数学本质的、更具价值的数学思维和实践基本活动经验；在学习过程中，运用基本活动经验，使学生面对新问题时总能想到办法，使数学发现更具“必然性”，实现数学育人.