解几运算教学 让学生吃点“亏”也好①

崔志荣

(江苏省东台市安丰中学 224221)

1 提出问题

众所周知，运算是制约学生数学学习的一个重要因素，尤其是解析几何，运算问题更突出，笔者分析有以下两个原因：

(1)不少学生字母数式运算能力差，他们怕运算，运算习惯差，运算出错率高；

(2)不择思路、不善算理分析.有些学生运算能力并不差、习惯也好，而且他们的数学分析能力也不差，他们能找到解题思路，但往往一找到解题方法就做下去，他们不善思辨不同的解题思路，不能权衡不同方法的优劣，不能合理优化解题方法，加之不善算理分析，以致解题运算失败.

原因之一需要长期鼓励学生强化运算训练、耐心引导规范解题，方能有效；原因之二要从解题教学上解决，需要合理引导学生分析比较不同的解题思路，让学生抉择解题方法，久而久之，能够提高他们解题的成功率.本文侧重原因之二的解题教学探讨，力图让学生重视解题思路的权衡比较，从而合理选择解题方法，提高运算的成功率.

2 问题剖析

日常教学研讨课中，不少教师都善于一题多解，但往往缺少解题思路的分析，也不管解法是否来得自然、学生能否想到，变成了解法的堆砌，更缺少解法间的比较分析，对学生考试帮助不足够大，因为考试时间有限，有些解法易想但运算耗时，放弃又不甘心，有时甚至出现耗去大量时间还不能完成的情况，影响其他题目的完成、影响整场考试.

在解析几何中，上述现象比较普遍，比如常见的直线过定点问题，思路易想，求出直线上两点的坐标，再化简直线方程得定点，然而往往化简直线方程的运算量较大，很多学生难以化简而失败；事实上，如能运用“先猜后证”的策略，先通过一些特殊情况得出定点坐标，然后再证明三点共线，则能减少运算量.也许有教师会说，解析几何中的这些思想方法，我们都反复讲过多次，但学生碰到具体问题就是不能运用.学生为什么不能运用思想方法呢？其实，这些思想方法，学生虽懂但反思不够，理解不够深刻且对其重要性认识不足，到具体解决问题时，自然不能运用.

怎样才能让学生重视这些思想方法并认真反思呢？仅仅凭教师的口头分析，不能引起学生的足够重视，得让他们吃“亏”！先让他们用自己想到的初级方法完成，要不怕浪费时间，然后再引导他们思考解题策略，再让他们重新完成解题过程.如此再来分析比较方法的优劣，分析运算量的大小，让他们自己权衡考试时应该用什么方法？还运用自己想到的初级方法行不行？他们自然会意识到这些方法策略的重要性，要加强研究和反思，还用原来的方法，运算时间太长，考试时间不够！久而久之，教师讲的这些方法策略才能被学生接受.为此，本文将结合两个具体的教学案例，展示让学生吃“亏”的教学过程.

图1

3 教学案例

(1)若直线PQ过原点O，求k1k2的值；

(2)设b=1，k1k2=-1，试探究直线PQ是否过定点？若过，则求出定点坐标；否则请说明理由.

为让学生对“先猜后证”的解题策略的理解更深刻，不宜直接引导学生理解运用，需要让学生运用他们想到的初级方法完成，得让他们吃“亏”，然后再与教师引导的优化方法比较，他们印象才深刻.学生通常先是化简直线PQ的斜率，然后用点斜式方程化简直线PQ的方程，最后求出直线PQ所过的定点.给他们15分钟左右的时间让他们运算，看有多少学生能够求出定点，并借此向学生说明，如果考试遇到这类定点定值问题，我们机械运算求解，会耗费大量时间，甚至还不能完成，并且还会影响其他题目的完成，因此，我们需要运用重新优化这道题的解法.这样，学生才更乐于接受教师引导的解题策略，对方法的理解才会更主动、更易于接受.基于此，教师提出如下问题：

问题本题中的定点问题，直接化简直线方程求定点，运算难度很大，我们需要变换角度解决问题，我们能不能先找到定点？然后再证明这个定点满足题意呢？

让学生从问题中初步理解“先猜后证”的解题策略.由此再提出，我们运用怎样的手段才能找到这个定点呢？学生通常能想到，运用特殊化的手段可以得到定点.于是，有学生就会提出，取k的两个特殊值，分别得到两条直线PQ的方程，其交点就是定点.同样这也不是最简洁的找定点的方法，但不要着急，让学生做做，让他们在吃“亏”中成长.最后投影展示一学生的过程：

图2

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点，连接MO(O为原点)并延长交椭圆E于点Q，求△MNQ的面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程.

案例2是我校2017届高三一次检测考试的题目，第(2)小题区分度很大，部分学生不会分析找不到解题思路、部分学生有思路又因运算能力差而无法完成；还有一个原因，这道题主要有两个处理方法，一个方法容易完成，另一个方法若有好的解题习惯、注意解题过程的反思，也容易完成，否则容易陷入困境.这道题的教学过程复杂、耗时大，既要引导学生学会分析找思路，又要加强学生运算能力的训练，并且还要让学生学会反思才能优化解题.为此，笔者花了一整节课完成了该题的教学，以下将粗略回顾这节课的教学流程，重点展示让学生吃“亏”的教学过程.

流程二：方法探讨.怎样求△MNQ的面积呢？并要求已想到方法的同学，还要思考有没有别的处理方法？由此总结得到如下两种处理方法：

①S△MNQ=2S△MNO，然后以OF为底求面积，得S△MNQ=OFyM-yN；

②仍用S△MNQ=2S△MNO，以MN为底，过原点作高h求面积，得S△MNQ=MN·h；

流程三：分析方法①运算步骤，并要求未能用该方法正确完成的同学再完成，最后投影展示一学生的解答解读；

4 教学反思

常听一些教师说，这个方法已讲过多次，还有不少学生不会运用.出现这种情况，无非两种原因：一是学生基础差且方法的理解要求高，不论教师怎么引导，总有学生学不会；二是教师引导不当，硬塞给学生，学生排斥不接受.对于前者，要因材施教，们乐意去研究，则更容易理解接受， 同时教学引导还要顺势而为，逆着学生的想法评讲，他们排斥难接受.本文中的吃“亏”教学，实际上是因势利导，顺着学生的思路方法走，当他们碰到困难时，再向教师预设的目标加以引导，学生自然愿意接受.

就解析几何而言，教学的两个关键点：一是思路方法的研究；二是运算能力的培养.对思路单一的解几题，只有加强运算教学了.但很多解几题思路方法灵活，有时不同方法的运算差异相当大，这需要教师合理引导学生选择思路方法，为让学生乐意接受教师的方法策略，需要比较分析教学，要充分体现运用思想方法的优越性，为此，让学生吃“亏”的必要性就很大，学生用自己想到的初级方法耗时太大，甚至不能完成，他们当然就心悦诚服地接受教师的解题策略.