Kaiser窗的组合余弦窗拟合及其在频谱分析中的应用

彭曦，刘开培，李登云,2

(1. 武汉大学 电气工程学院， 武汉 430072; 2. 中国电力科学研究院, 武汉430074)

0 引 言

谐波的准确检测对谐波治理，保障电能质量和电力系统安全稳定运行具有十分重要的意义[1]。为了抑制采样序列截断产生频谱泄露，加窗傅里叶变换是较为常用的谐波分析方法[2-4]。常用的窗函数，如汉宁(Hanning)窗、汉明(Hamming)窗、布莱克曼(Blackman)窗、纳托尔(Nuttall)窗、莱夫文森特(Rife-Vincent)窗等均为一类组合余弦窗。针对这类组合余弦窗以及基于这些余弦窗的新型窗已有成熟的FFT插值算法[5-10]，能有效抑制频谱泄露对信号分析的影响，从而满足复杂谐波信号分析的要求。

Kaiser窗是非组合余弦窗，可自定义选择主瓣宽度与旁瓣高度之间比例，因此对信号加权更加灵活[11-12]。目前已有基于Kaiser窗的双谱线FFT插值算法[11]，但是精度一般。因此本文提出了基于Kaiser窗的组合余弦窗构造方法，通过最小二乘法将Kaiser窗拟合为组合余弦窗。以β=11的Kaiser窗为例，将拟合后的窗函数与原窗进行了频谱对比，结合文献[13-15]中提出的的双谱线插值FFT算法进行了信号分析。

1 Kaiser窗的组合余弦窗最小二乘曲线拟合

1.1 Kaiser窗的组合余弦窗最小二乘拟合

在频域寻找最大限度地集中在ω=0附近的窗函数可以定量的在主瓣宽度和旁瓣面积之间进行权衡选择。Kaiser利用十分容易计算的第一类零阶修正Bessel函数可构成一种近似最佳的窗函数。Kaiser窗定义为[8]：

(1)

式中α=M/2，其中I0(·)为第一类零阶修正贝塞尔函数。Kaiser窗有两个参数：长度参数(M+1)和形状参数β。调整窗函数的长度和形状可通过改变改变(M+1)和β的大小，从而达到窗函数的旁瓣幅度和主瓣宽度之间的折中。随着β的增大，Kaiser窗函数频谱的旁瓣峰值减小，旁瓣衰减速率增大。

对于Kaiser窗y(x)，离散采样m点得到数据集(xn,yn)(n=1,2,…,m)，用组合余弦窗y=w(xn)对数据集进最小二乘[16]拟合，使偏差δn=p(xn)-yn(n=1,2,…,m)的平方和达到最小。组合余弦窗的一般表达式见下式：

(2)

式中K为组合余弦窗项数；ai为第i项组合余弦窗系数；N为窗函数长度。

组合余弦窗式(1)的DTFT为：

(3)

式中WR(ω)为矩形窗的频谱函数。

当增加β值时，Kaiser窗旁瓣峰值电平下降，旁瓣渐进衰减速率增加。本文以β=11的Kaiser窗为例进行信号处理。该Kaiser窗旁瓣衰减速率为18 dB/oct，旁瓣峰值电平为-82.6 dB，已足够满足电力系统谐波分析的精度要求。

为减少运算，本文的拟合项数选取5次。取β=11的Kaiser窗进行五项最小二乘拟合，得到新的窗函数时域表达式为:

(4)

式中N为窗的长度。

1.2 窗函数特性对比

(1)与原Kaiser窗特性对比

以窗长N=64为例，新型余弦窗与原Kaiser(β=11)时的幅频特性如图1，窗函数特性参数见表1。

由此可见，最小二乘法拟合得到的Kaiser窗特性的新型余弦组合窗，保证主瓣宽度不变，旁瓣峰值电平与旁瓣衰减速率略微减小，依然保持了原Kaiser窗优良的特性。

表1 原Kaiser窗(β=11)与新余弦窗特性参数

图1 窗函数幅频特性

(2)与常用余弦窗性能对比。

表2为常用窗函数与β=11时Kaiser窗的组合余弦窗的频谱特性的比较，可看出Kaiser窗与Kaiser的组合余弦窗的旁瓣峰值电平低，旁瓣衰减速率快，与常见窗函数相比，适合电力系统谐波分析。

表2 窗函数特性比较

2 仿真分析

本文采用文献[17]中的包含21次谐波的复杂信号模型进行仿真，仿真采用的信号模型为：

(5)

式中基波频率f1为50.5 Hz；异步采样时，采样频率fs为2 520.6 Hz；截断信号的数据长度N为1 024点；Ai为基波幅值以及各次谐波幅值，见表3。

表3 仿真谐波幅值参数

本文采用了文献[13]提出的FFT双峰谱线修正算法。取β=11时拟合构造的新组合余弦窗函数组合余弦窗时域表达式见式(4)，其双谱线插值公式为：

(6)

将信号分别用Kaiser窗双谱线插值算法[17]和拟合组合余弦窗双谱线插值法处理，对比幅值相对误差，结果见表4与图2。

由图2可以看出，通过最小二乘拟合算法得到的新组合余弦窗与Kaiser窗相比，使用双谱线插值法后得到的频谱幅值精度得到了明显提高。

表4 加窗双谱线插值FFT分析幅值相对误差

图2 加窗FFT双谱线插值分析幅值相对误差曲线

3 结束语

将Kaiser窗进行最小二乘拟合为组合余弦窗后可以利用现成组合余弦窗的双谱线插值算法，解决了Kaiser窗双谱线插值法幅值提取精度低的问题。以β=11的Kaiser窗为例构造了组合余弦窗，与Kaiser窗双谱线插值法相比较，基于拟合组合窗余弦窗的双谱线插值算法获得的谐波幅值精度更高，能达到对电力系统谐波分析的高精度的要求。