基于贝塞尔不等式原理的密集模态阻尼识别

赵晓丹， 韩俊阳， 孙黎明,2， 王西富

(1.江苏大学 汽车与交通工程学院，江苏 镇江 212013；2.拖拉机动力系统国家重点实验室，洛阳拖拉机研究所有限公司，河南 洛阳 471039)

阻尼表征系统振动衰减和能量耗散，在结构故障诊断、振动与噪声控制和振动实时监控等课题研究中有重要意义，精准地识别阻尼一直是人们研究的重要课题[1-2]。

阻尼识别的方法众多[3],工程上常用半功率带宽法，但是半功率带宽法受频率分辨率的限制，在小阻尼的情况下不能准确地获取半功率点[4]。为此，文献[5-7]提出半功率带宽法的改进方法、內积法、衰减法等阻尼识别方法，这些方法能够准确地识别单自由度模态和非密集模态的模态阻尼。但是当响应信号中存在密集模态时，各模态之间的干涉严重，上述方法不能有效识别密集模态的阻尼比。

密集模态的阻尼识别是目前研究的热点问题。针对密集模态阻尼的识别，常见思路是分离出信号中的多个“纯模态”，然后分别诊断各“纯模态”的阻尼[8]。这一思路下的方法有小波变换[9]和Hilbert-Huang变换[10]。小波方法具有滤波功能，但是不能完全滤除相近模态，导致模态参数识别不准确[11]。Hilbert-Huang变换的关键环节是EMD分解，但是当模态之间频率较为接近时，EMD方法无法彻底分离出单个模态，同时存在端点效应、分离模态不完整及模态混叠等问题[12]，限制了Hilbert-Huang变换方法准确地识别密集模态阻尼。国内外最常用的密集模态阻尼比计算方法是迭代方法[13-14]。迭代方法的机制是首先粗略获取各阶模态估计项，然后通过迭代过程逐步消除各阶模态之间的相互干扰，最后得到各阶模态参数。迭代方法没有改变“首先从原信号中分离出某一阶模态，然后逐个获取各阶模态参数”这一思路。迭代方法能够有效地识别出一定密集程度的模态阻尼。但是对于密集程度较高的模态信号，迭代法不能有效地分离各阶模态并识别其参数。密集模态的阻尼识别仍然是一难点问题。

区别于以往思路，本文以贝塞尔不等式原理为理论基础，在密集模态附近建立标准正交坐标系，计算响应信号在该坐标系上的投影，特性是通过优化获得的正交基系消除密集模态间的相互干扰，一次性识别出密集模态各阶固有频率和衰减系数，而不再是要从原信号中逐个分离出各阶模态。通过仿真计算和油底壳模态实验，验证方法的有效性。

1 密集模态阻尼比识别

1.1 识别原理

自由度为的密集模态响应信号可表示为

(1)

阻尼比ζi与衰减系数ni及固有频率ωdi存在如下关系

(2)

根据响应信号的阶数M，在密集模态附近构造基函数系：

{g1(t),g2(t),…,g2i-1(t),g2i(t),…,g2M(t)}

(3)

其中:

设置采样频率为fs，采样点数为N。信号x(t)离散为向量x

(4)

式中：k=0,1,2,…,N-1，Δt为采样时间间隔，且Δt=1/fs。

基函数系{g1(t),g2(t),…,g2i-1(t),g2i(t),…,g2M(t)}转化为对应的向量系，表示为：

(5)

式中：k=0,1,2,…,N-1，Δt为采样时间间隔，且Δt=1/fs。

使用施密特方法将向量系{g1,g2,…,g2i-1,g2i,…,g2M}正交化：

(6)

将正交向量系{h1,h2,…,h2M}单位化:

(7)

得到一组标准正交系{u1,u2,…,u2M}。

将响应信号x(t)对应的向量x与标准正交系{u1,u2,…,u2M}中各向量做內积运算，并计算内积模平方和，即：

(8)

若{eλ|λ∈Λ}是內积空间(H)中的标准正交基，且x∈H，则贝塞尔不等式成立[15]：

(9)

式(8)中，根据贝塞尔不等式，有：

(10)

(11)

(12)

式(10)的几何意义为：空间中向量x在一标准正交基{u1,u2,…,u2M}各基向量上投影的平方和小于等于其自身长度的平方。当向量x与标准正交系{u1,u2,…,u2M}线性相关时，式(10)等号成立。

1.2 优化搜索目标函数最大值

遗传算法具有全局收敛性,但是在局部区域的搜索能力较差，搜索速度较慢，搜索结果具有一定的随机性[16]。拟牛顿法能快速获取局部区域最优解，但是在多峰值的全局搜索中并不适用[17]。本文结合两者优点，使用遗传算法优化搜索到包含目标函数最大值的局部邻域，将遗传算法的搜索结果作为初始值，采用拟牛顿法局部优化搜索目标函数最大值，获取密集模态信号固有频率和衰减系数的精确解。

(1)遗传算法全局优化搜索

(2)拟牛顿法局部优化搜索

步骤2：计算

(13)

同时，设定k=1,H(1)=E2N,其中，E2N为单位矩阵。

步骤3：令p(k)=-H(k)d(k)。

步骤4：求解方程

Y(z(k)+λkp(k))=maxY(z(k)+λp(k))

(14)

获取一维搜索的最优步长λk。同时，令

z(k+1)=z(k)+λkp(k)

(15)

步骤6：计算

(16)

式中:Δz(k)=z(k+1)-z(k)，Δd(k)=d(k+1)-d(k)。令k=k+1，返回步骤3。

2 仿真算例

假设存在一个三自由度的自由衰减响应信号

阻尼比ζ1、ζ2、ζ3分别为0.006 3、0.007 5、0.008 6。为了考察本文方法能否准确识别密集程度不同的模态信号的阻尼。频率f1、f2、f3取三组不同数值：第一组取为100、105、110 Hz；第二组取为102.2、105、107.8 Hz；第三组取为104.1、105.5、106.8 Hz。得到密集程度不同的三组信号。图1为三组信号的频域图。观察图1，三组信号的密集程度由低到高。设置采样频率2 000 Hz，采样点数2 048点。

采用本文方法识别三组信号的各阶模态阻尼比。在使用遗传算法搜索目标函数最大值时，设定种群规模为20，个体基因数为34，交叉概率为0.5，变异概率设置为0.01。遗传到2 000代时，搜索终止，初步获取各阶固有频率和衰减系数。进一步采用拟牛顿法优化搜索局部最大值，根据相应的各阶固有频率和衰减系数计算各阶阻尼比。计算结果如表1所示。

为了进行对比，同时使用迭代法[14]诊断三组信号的各阶模态阻尼比。设定迭代次数为50。诊断结果如表2所示。

对比观察表1和表2可知：迭代方法可以较为准确地诊断出密集程度较低的第一组信号的各阶模态阻尼，阻尼比识别误差在0.5%以内。而对于密集程度较高的第二组信号和第三组信号，內积迭代方法不能准确地识别出信号的模态阻尼比。特别地，对于密集程度很高的第三组信号，阻尼比的识别误差甚至达到了295.7%，识别结果失真。

本文方法精确地识别出了密集程度不同的三组信号的阻尼比。三组信号的各阶阻尼比识别误差均保持在0.001 3%以内。上述结果表明，本文方法不受模态密集程度的影响，对于密集程度不同的模态信号，阻尼比的识别结果都较为准确。

图1 密集模态信号频域图Fig.1 Spectrum of closely spaced modes

表1 本文方法的密集模态阻尼比识别结果Tab.1 Closely spaced modes damping ratio estimation with method based on bessel inequality

表2 內积迭代法的密集模态阻尼比计算结果Tab.2 Closely spaced modes damping ratio estimation using inner product and iterative algorithm

3 实验验证

油底壳的辐射噪声在发动机噪声中占有很大比例，准确识别油底壳的阻尼对于油底壳噪声控制具有实际意义[18]。油底壳的振动响应信号中存在密集模态信号。

对某型号发动机的油底壳进行阻尼识别实验，实验过程如下：使用橡皮绳索将油底壳悬挂于支架上，油底壳上安装加速度传感器，加速度传感器的型号为B&K4321，图2为实验现场照片；用型号为B&K8848的力锤敲击油底壳中部，使用优泰uTekL 2009型数据采集系统采集振动响应信号，采样频率为2 000 Hz，采样获得的时域曲线，见图3。

图2 油底壳实验照片Fig.2 The photo of oil pan experiment

图3 响应信号时域图Fig.3 Time domain spectrum of response signal

图4 响应信号频域图Fig.4 Frequency spectrum of response signal

对时域信号做时频变换，获取响应信号的频域图如图4所示。观察响应信号的频域图发现：响应信号中450～650 Hz内存在密集模态，且在530～540 Hz附近存在一幅值很小的模态信号，这一阶模态信号的阻尼识别容易受两侧模态的干扰。

采用本文方法识别密集模态信号的固有频率和阻尼比。诊断结果如表3所示。

表3 油底壳阻尼比识别结果Tab.3 Identification results of an oil pan damping ratio

为了验证识别结果的准确性，根据诊断出的固有频率和阻尼比信息重构各阶模态信号，从原信号中依次削减识别出的各阶模态信号。若某阶模态参数识别结果不准确，则此阶模态不能被完全削减，频域图上残留“剩余峰值”；反之，若识别结果准确，则此阶模态能被削减，频域图上也不存在明显的“剩余峰值”。

图5为各阶模态被削减后的剩余信号频域图，观察发现：频域图上的每一阶模态都能被有效削减，不存在明显的“剩余峰值”，这表明识别出的固有频率和阻尼比的结果准确。

图5 剩余信号的频域图Fig.5 Frequency spectrum of the remaining signal

4 结 论

(1)本文构建标准正交系，计算密集模态在正交系上的投影。根据贝塞尔不等式，当投影最大时，密集模态信号与标准正交系线性相关，获取相应的各阶模态固有频率和衰减系数，同时采用遗传算法结合拟牛顿法优化搜索密集模态在正交系上的投影最大值，得到各阶模态固有频率和衰减系数精确解，最后求解出各阶阻尼比。

(2)本文方法识别阻尼的进步意义在于其不受模态密集程度的限制，理论上该方法能够准确地识别出任意密集程度的模态信号的阻尼。

(3)经仿真计算和油底壳模态实验验证，该方法可准确识别出油底壳响应信号中密集模态的模态参数，具有理论价值和工程应用价值。