通过基尔霍夫衍射积分计算激光横模光场

王艺蓉，蓝佳雯静，孙 萍，屈 帅，高 著

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

激光器由增益介质、光学谐振腔和激励源组成. 激光谐振腔有本征频率，每个频率对应1种光场分布，叫做1种模式[1]. 完整描述1种模式需要知道横向与纵向的光场分布状态，其中，纵模描述轴向光场分布，横模描述横向光场分布.

谐振腔的结构不同，它的模式也不同. 分析谐振腔的数值方法有快速傅里叶变换方法[2-3](FFT)、有限差分法[4](FDM)、有限元光束传播法[5](FEM-BPM)、Fox-Li数值迭代法[6]等，而对于典型结构的谐振腔，采用解析法就已经足够. Boyd和Gordon首先证明了方形镜共焦腔模式积分方程有严格的解析解[6].

惠更斯-菲涅耳原理是分析衍射问题的基础，该原理数学上表示为基尔霍夫衍射积分，在分析谐振腔模式问题时用到基尔霍夫衍射积分[7-9]. 本文将通过基尔霍夫衍射积分求出方形共焦腔的光场解析解，并利用Matlab画出几种简单的光场分布，与实验中获得的谐振腔出射光斑进行比较.

1 方形共焦凹球面镜横模分裂

横向光场是由衍射导致的[1]，分析起来较纵模来说更为复杂，需要通过基尔霍夫衍射积分计算光场分布[6]：

(1)

(a) (b)图1 方形共焦凹球面镜谐振腔

在图1条件，基尔霍夫衍射积分可以化为[6]

(2)

式中Cmn为本征值.

对(2)式进行变量代换：

(3)

通过分离变数[6]，令Umn(x,y)=Fm(X)Gn(Y)，解出Fm(X)和Gn(Y)为角向长椭球函数：

(4)

角向长椭球函数比较抽象，查询数学手册，给出特例如图2所示.

图2 角向长椭球函数

得到光场分布为

方形共焦凹球面镜横向光场的不同模式如图3所示.

当菲涅耳数很大时，还可以通过超椭球函数近似得到圆形镜横向光场不同模式，如图4所示.

(a)TEM00

(b)TEM10

(c)TEM02图3 方形共焦凹球面镜横向光场的不同模式

(a)TEM00

(b)TEM10

(c)TEM02图4 圆形共焦凹球面镜横向光场不同模式近似

2 实验结果与数据分析

实验仪器：He-Ne激光器，CMOS,长激光管.

实验通过光屏接收到光斑，利用手机摄像头(CMOS)记录图像,如图5所示.

图5 光斑形状

从图5并不能明显看出激光的横模组分，可将该图片导入Matlab进行处理，得到光强分布如图6所示.

图6 未除噪光强分布图

从图6可以看出光强分布主要为高斯分布，对应着横模TEM00，但仍存在其他的光场分布. 通过小波除噪并进行二值化，得到图7. 图7中，光强在x方向达到1次最小值，在y方向达到2次最小值. 对照图3，横模TEM10在x方向达到1次最小值，横模TEM02在y方向达到2次最小值. 故图7的光场分布至少为横模TEM00,TEM10和TEM023种横模光场的叠加，若确认是否有其他模的存在，需要结合频谱图分析[10].

图7 除噪二值化光强分布图

3 结 论

横模产生的原因是由于激光波矢方向与谐振腔轴线有夹角，光在谐振腔内壁发生衍射. 通过基尔霍夫衍射积分得到方形共焦凹球面镜的解析解，通过Matlab绘制光场. 当菲涅耳数很大时，近似得到圆形共焦凹球面镜的光场分布. 将理论模型下利用Matlab得到的光场分布图像与实验结果进行比较，发现实验中谐振腔的光场分布实际上是多种横模模式的叠加. 确定这些模中存在TEM00,TEM10和TEM023种横模光场.