赏析数列中的创新题

■河南省潢川高级中学 谢思源

数列,作为高考的必考内容,除考查数列知识的基本应用外,同时也考查数列的创新问题,本文列举几例,供同学们欣赏。

一、新定义型

例1 设Sn为数列{an}的前n项和,（n∈N*）是非零常数,则称该数列为“和等比数列”。若数列{cn}是首项为2,公差为d（d≠0）的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则d=_____

因为数列{cn}是“和等比数列”,所以为非零常数,d=4。

评注:所谓“和等比数列”,其实就是等比数列与等比数列求和的“综合”,因此解决这类问题只需化“陌生”为“熟悉”,利用已经掌握的有关知识解决新问题。

二、图表类型

例2 如图1所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边（包括两个端点）有n（n＞1,n∈N*）个点,相应图案中总的点数记为=（ ）。

图1

解析：由图形可知a2=3=3×（2-1）,a3=6=3×（3-1）,a4=9=3×（4-1）,a5=12=3×（5-1）,…,an=3（n-1）。

故数列an是首项为3,公差为3的等差数列,通项为an=3（n-1）（n≥2）。

评注:本数列题以图形的形式给出,既考查了考生的观察能力和归纳能力,又考查了数列的基本考点:数列求和。题目的结构新颖,难度中等。

三、结论探索型

例3 若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T。已知数列{an}满 足 a1=m（m＞0）,an+1=

①若a3=4,则m可以取3个不同的值;

②若m=2,则数列{an}是周期为3的数列;

③∀T∈N*且T≥2,存在m＞1,使{an}是周期为T的数列;

④∃m∈Q且m≥2,使数列{an}是周期数列。

其中所有真命题的序号是____。

解析：对于①,根据条件,当m＞2时,有a2=m-1＞1,a3=m-2,于是m-2=4,有m=6满足条件;当m∈（1,2]时,有a2=m-

对于②,逐个推导可得:a1=2,a2={an}是周期为3的周期数列。故②正确。

对于③,要想使得{an}是周期为T的周期数列,并且m＞1,故只需使得a=,则TaT+1=m。而m＞1,可使得aT=m-（T-1）,即m-（T-1）=, 于是m2-（T-1）m-1=0,关于m的方程两根之积为-1,必为异号两根,而两根之和为T-1≥1,故其正根m必定大于1,满足条件,故③正确。

对于④,仿照③可知,当T=1时,m=1不满足条件。

当T∈N*且T≥2时,若m为整数,则必定在若干项以后出现an=1,从这项以后成为常数数列,不合题意,故m为非整数,且舍负,要使得m∈Q,则 T2-2T+5必为有理数（且为整数）。令其为n,且T-1+n不是偶数,否则m为整数,即T+n是偶数,所以T与n同奇或同偶。由T2-2T+5=n2知,T与n不能同为偶数。当T为奇数时,T2是奇数,等式左边是偶数,这与n2为奇数矛盾。

综上,④错误。

所以正确答案为:①②③。

评注:本题给出周期数列的定义,又以递推关系的形式给出了数列{an},要求大家从这两个“已知”出发,探究给出的四个结论的真假性,试题具有较高的难度,从一定程度上考查了同学们的探究能力。

四、知识综合型

例4 已知点A（1,0）,B（0,1）和互不相同的点P1,P2,P3,…,Pn,…满足（n∈N*）,其中{an}、{bn}分别为等差数列、等比数列,O为坐标原点,若P1是线段AB的中点,则:

（1）求a1,b1的值。

（2）点P1,P2,P3,…,Pn,…能否在同一条直线上?请证明你的结论。

（an-an-1）（bn+1-bn）-（an+1-an）·（bn-bn-1）=0⇔d（bn+1-bn）-d（bn-bn-1）=0⇔bn+1-bn=bn-bn-1⇔q=1,这与q≠1矛盾,所以当d≠0且q≠1时,P1,P2,P3,…,Pn,…不可能在同一条直线上。

评注:本题将等差数列、等比数列、平面向量和解析几何交汇在一起,注意题中“平面向量”只是问题的“载体”,而“数列”才是问题的“落脚点”。