基于Mathematica可视化矩形波导的电磁波*

侯跃飞 张利绒 刘俊杰

(内蒙古大学物理科学与技术学院 内蒙古 呼和浩特 010020)

理想波导是用来无损耗传输高频电磁波的装置，研究理想波导内部的电磁场分布特性对促进波导在实际中的应用具有十分重要的意义.以理想矩形波导为例，从电磁场的麦克斯韦方程组出发，代入边界条件，可以获得波导内部电磁场关于空间、时间的函数方程，简称场方程.通过场方程理解电磁场分布比较抽象，对此文献[1]介绍了一种基于Matlab矩形波导的TE10模时变电磁场三维动态演示，方便了对电磁波传播特性的理解，但缺少对波导截止情形的讨论，同时演示结果中缺少适当的定量关系.文献[2]基于软件HFSS实现了矩形波导电场分布仿真，利用颜色色度的变化表示波导内电场密度的变化.文献[3]给出了TE11和TM11两种模式下矩形波导横截面与纵剖面的二维电磁场分布，但图像与描述不一致，极易造成误导.

本文受到Y.Shibuya发布在Wolfram网站的平行板波导演示项目的启发[1]，同时为了克服以上工作的局限，发展了基于Mathematica矩形波导内电磁波的三维演示项目(下载地址：https://pan.baidu.com/s/1nRv-iErQyUWyjgfVujHl3Q)，可以实现矩形波导TE波或TM波、主模或高阶模、传输状态或截止状态波导内空间各点的仿真.涉及的演示对象包括电磁场矢量分布、能量密度分布与能流密度沿传播方向强度的分布.可调自由度高，可挖掘的信息量大.参照比例尺还可获得各物理量之间的数量级关系，可促进对矩形波导特性的学习与理解.

1 场方程

如图1所示，理想导体边界的矩形波导内部电磁场满足方程组

(1)

(2)

(3)

(4)

图1 矩形波导

电磁波沿z方向传输，设电场强度矢量为

E(x,y,z,t)=E(x,y)ei(kzz-ωt)

(5)

分离变量并引入矩形波导边界条件[4]，得到如下形式的电场解

(6)

由式(3)，系数A1，A2，A3满足如下关系

A1kx+A2ky-iA3kz=0

(7)

取A3=0，联立式(2)与式(5)，得到振幅常量中只含有一个独立变数的横电波(TE波)电磁场分布方程[5]

(8)

取A2kx-A1ky=0,同理得到横磁波(TM波，电磁场分布方程

(9)

波矢沿z方向分量

式中a和b为矩形波导截面宽边长度和窄边宽度，m和n取值为0，1，2，…，A和A0为振幅常数，数值由激发源功率确定.

为方便数值模拟，取

(10)

这样使得Ex的系数为1，对应其他场分量的系数也化为了较简单的形式.但对于TEm0与TE0n两种模式，特别地，取A=A0=1，以免因ky或kx的值为零造成场方程无意义或行波不存在.

2 传输情形下的场和能量特性

依据式(7)、(8)，通过模拟实现了矩形波导内部行波电磁场的可视化.设矩形波导宽边长度3 cm，窄边长度2 cm，两边分别置于直角坐标系的x轴和y轴，电磁波沿z方向传输.如图2(a)所示，显示截面在y=1.25 cm处，蓝色箭头与红色箭头分别表示电场强度矢量与磁感应强度矢量.箭头起始端为场点位置，箭头长度反映了矢量相对强弱.右侧曲线表示能流密度矢量z分量沿x轴方向的强度分布，可以看出该分量的强度呈周期性变化，且波导宽边模数m为该曲线出现的周期数.从另一角度观察，如图2(b)所示，可以看出电场强度与磁感应强度处处正交.

(蓝色箭头表示电场，红色箭头表示磁场，曲线表示能流)

图2

如图3(a)、(b)所示，在垂直于y轴的波导边界上，TM波的电场强度方向垂直于波导内壁，磁感应强度平行于波导内壁.矩形波导中的电磁场在传播方向上表现为行波，在垂直于传播方向的截面、平行于边界的方向表现为驻波.由图3(a)不难看出，波导宽边模数m为该方向驻波的半波数.在使用本演示程序时，会发现存在电场、磁场均没有沿z方向分量的截面，这种特殊的截面位于驻波的波节处.应当注意这并不表示矩形波导可以传输TEM波，改变显示截面位置，可以发现电场或磁场重新出现了纵向分量.

图3

事实上，与平面电磁波不同，矩形波导内某时刻任意场点的电场能一般不等于磁场能.由图4(a)可以看出某一时刻在垂直于传播方向的截面上电磁能量分布存在周期性，m和n分别为沿宽边与窄边分布的周期数.如图4(b)所示，沿着传播方向能量分布亦存在周期性，单位长度的能量峰值数应与电磁波源的频率成正比.

图4

3 截止情形下的场和能量特性

截止波导在生产生活中应用广泛，它对低于截止频率的电磁波的“截断”功能是一个十分有趣的物理现象，截止频率的大小与模式和矩形波导的尺寸有关.当场源激发出的电磁波频率低于截止频率，矩形波导不会传播电磁波，表现形式为沿传播方向振幅急剧衰减的电磁振荡[6].

电磁能量也主要区域性地集中在激发源附近，不会向远方传输.在电磁波频率由低到高逐渐接近截止频率的过程中，电磁场衰减速率变慢，进入波导内部的电磁能量逐渐增多，如图5(a)、(b)所示.当激发源频率升高至大于截止频率，波导内电磁场性质发生突变，重新出现行波，此时回归到传输情形，如图5(c)所示.

图5

4 参数设置说明

演示程序操作界面如图6所示.

波导参数设置中，“模式”选项切换TE或TM波形，“模数m”与“模数n”的取值为0，1，2，3.应注意，矩形波导不存在TMm0与TM0n模式的电磁波.“频率f”可调范围为4.0 GHz～30.0 GHz；“相位φ”调节范围为0～16π；“截面位置(x方向)”可调范围0～2 cm，“截面位置(y方向)”可调范围0～6 cm，不断改变截面位置可观察出场在波导内全空间的变化规律.

对象显示设置中，“电/磁场”选项控制打开或关闭电磁场演示；“能量密度分布”选项控制打开或关闭能量密度分布演示；“场矢量密度(z方向)Nz”与“场矢量密度(x方向)Nx”选项调节单位空间内矢量箭头数量，较大的箭头数量便于观察波动性质，较小的箭头数量便于观察单个场点性质；“能量密度比例尺”可改变能量密度标度，来解决不同模式下能量密度数量级差距较大，难以用唯一的标度较好演示的问题.

图6 演示项目操作界面

5 结束语

本文应用软件Mathematica实现了矩形波导内电磁场的可视化，三维的图像进一步加深了读者对波导中电磁场分布特性的理解，使原本抽象的TE波、TM波、模数、截止等概念的物理意义更加明确.同时通过对演示结果的研究，得到以下结论：

(1)理想矩形波导内电场与磁场处处正交，且满足理想导体边界条件，即矩形边界处电场垂直波导内壁，磁场平行波导内壁.

(2)理想矩形波导不能传播纯粹的横电磁波，模数m和n分别代表沿宽边、窄边的电磁驻波半波数或能量分布的周期数.

(3)造成理想矩形波导出现截止现象的原因是电磁波的急速衰减，且随着频率的降低，衰减速率变快.最后读者可依据比例尺和给出的数值进行相关演算，了解数量级关系，增强物理感觉.