“逐差法”不仅可以求加速度

李伟康 朱小勤

(芜湖市第一中学 安徽 芜湖 241000)

1 “逐差法”的内涵和意义

【例1】(2006年高考重庆卷第22题)某同学用如图1所示装置测量重力加速度g，所用交流电的频率为50 Hz，在所选纸带上取某点为0号计数点，然后每3个点取一个计数点，所有测量数据及其标记符号如图2所示．该同学用两种方法处理数据(T为相邻两计数点的时间间隔)：

百分差

5 创新点

(1)通过无线设备遥控测量牛顿环，使系统简便且易于操作．

(2)对于实验中的条纹数目是经过CMOS镜头，将条纹清晰地显示在电脑屏幕上，利用光敏模块进行计数条纹．系统可记录每环数据并在液晶显示屏上显示，避免繁琐的数据记录过程，减少眼疲劳，方便浏览．

(3)利用角编码器进行测量位移，这样就可以避免回程误差.

(4)系统通过所测数据自动计算牛顿环半径，优化了实验步骤，提高了准确度，减少了误差．

(5)断电自动保存实验所测数据，免去因线路故障丢失数据．

6 结论

改进后的装置与原装置相比，百分差由2.3%降为了1.5%，误差减少了0.8%，相对不确定度由0.68%降为0.53%．改进后优化了实验步骤，系统简便且易于操作，减少眼疲劳带来实验误差，有效避免了回程误差，实验数据更加准确，效率高效．

图1 例1题图

图2 纸带

从数据处理方法看，在s1，s2，s3，s4，s5，s6中，对实验结果起作用的，方法A中有________；方法B中有____________________．因此，选择方法______(A或B)更合理，这样可以减少实验的________(系统或偶然)误差．本实验误差的主要来源有____________________(试举出两条)．

答案：s1,s6；s1,s2,s3,s4,s5,s6；B；偶然；阻力(空气阻力，振针的阻力，限位孔的阻力，复写纸的阻力等)，交流电频率的波动，长度测量，数据处理方法等．

“逐差法”是一种逐一相减的数据处理方法，通过大量数据的使用和逐一相减，使正负误差尽量抵消，从而起到减小物理实验测量数据偶然误差的作用．例1中由于方法A中对实验结果起作用的只有s1和s6，对减小偶然误差没有帮助，而方法B中对实验结果起作用的是全部数据，正负误差抵消较为充分，起到了有效减小偶然误差的作用，所以方法B更合理．因此，在物理实验数据处理上，方法B才真正体现“逐差法”的内涵．而其意义正是“充分减小偶然误差”．

“逐差法”的操作要领是尽量充分地利用已测量数据，通过观察进行逐差组合，分组求解后再求平均值．对于连续的偶数段数据，可以将全部数据分成连续的“两大段”，再行求解．

2 “逐差法”的思想根源和等效表现

“逐差法”的思想根源是“多次测量求平均值”以减小偶然误差，理解了这一点，学生就不至于只拘泥于“逐差法”的形式，才能在非一般情况下做到灵活变通，准确求解．

“逐差法”的等效处理方式是图像法(如“逐差法”求加速度和利用s-T2的斜率求加速度是等效的)，两者都能达到充分抵消正负误差的效果．相比之下，“逐差法”求解快速，而图像法直观，容易发现、剔除个别错误数据．

3 “逐差法”的拓展应用和灵活处理

在线性关系的数据处理上，“逐差法”可以拓展到中学各种实验的数据处理中，只是为了方便应用，可能要对数据的关系做些形式的变通．

3.1 “舍小取偶逐差法”

【例2】(2017年高考全国Ⅰ卷第22题)某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间．实验前，将该计时器固定在小车旁，如图3所示．实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车．在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图4记录了桌面上连续的6个水滴的位置．(已知滴水计时器每30 s内共滴下46个小水滴)

(1)由图4可知，小车在桌面上__________(填“从右向左”或“从左向右”)运动的．

(2)该小组同学根据图4的数据判断出小车做匀变速运动．小车运动到图4中A点位置时的速度大小为______m/s，加速度大小为______m/s2．(结果均保留2位有效数字)

图3 例2题图

图4 小水滴位置

解析：现只分析加速度的“逐差法”求解．

一般有以下3种处理方式，均为“奇段取偶”，只采用部分数据．

Ⅰ．舍掉第一段，变为偶数段

0.037 125 m/s2≈0.037 m/s2

Ⅱ．舍掉最后一段，变为偶数段

0.037 687 5 m/s2≈0.038 m/s2

Ⅲ．舍掉中间一段，变为偶数段

0.037 5 m/s2≈0.038 m/s2

那么，标准答案应该给多少呢？笔者在网上搜索的结果基本上都是0.037 m/s2．若如此，则处理方式Ⅱ和Ⅲ就是错误的．那么，若标准答案给的是0.037 m/s2或0.038 m/s2呢？

我们再看一下其他处理方式，即在5段数据中任选两段求解

……

那么，若采用“全数据处理”方式又会分别得出什么结果呢？

Ⅳ．重复使用“小数据”段

0.037 687 5 m/s2≈0.038 m/s2

Ⅴ．重复使用“大数据”段

0.037 406 25 m/s2≈0.037 m/s2

由此可以看出，命题者除了旨在考查“逐差法”外，还兼顾考查了对误差来源的认识和减小的多种途径的理解和处理．

我们可以把由连续奇数段数据求解相关物理量的方法概括为“舍小取偶逐差法” ．

3.2 “凑和逐差法”

【例3】(2010年高考重庆卷第22题)某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50 Hz，在纸带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图5所示，A，B，C，D是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：sA=16.6 mm，sB=126.5 mm，sD=624.5 mm．

图5 纸带

若无法再做实验，可由以上信息推知：

(1)相邻两计数点的时间间隔为________s；

(2)打C点时物体的速度大小为________m/s(取2位有效数字)；

(3)物体的加速度大小为________(用sA，sB，sD和f表示) ．

解析：现只分析加速度的“逐差法”求解．易知，AB段距离sAB=sB-sA，BD段距离

sBD=sD-sB

但考虑已知数据的局限性，根据上述做法很难得出加速度的表达式，现灵活处理如下

sBC-sAB=aT2

sCD-sAB=2aT2

两式相加后，得

(sBC+sCD)-2sAB=3aT2

即

sBD-2sAB=3aT2

亦即

又

所以

3.3 “倒数逐差法”

【例4】(2014年高考浙江卷第21题)在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图6连接起来进行探究.

图6 例4题图

(1)某次测量如图7所示，指针示数为______cm.

图7 测量示数

(2)在弹性限度内，将50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A，B的示数LA和LB如表1所示.用表中数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为______N/m(重力加速度g=10 m/s2).由表1中数据______(填“能”或“不能”)计算出弹簧Ⅱ的劲度系数.

表1 指针示数

解析:现只针对弹簧Ⅰ的劲度系数的求解做如下讨论(为便于比较差异，以下保留3位小数).

(1)单组数据求解

三者取平均值

(2)“逐差法”求解

所以

κ=12.500 N/m

由上述不同的求解方法，可以看出所求结果大小呈现多样性，这是偶然误差的表现，而“逐差法”所求结果在各个数值中居中位，这是偶然误差减小的体现．

3.4 “整体逐差法”

【例5】某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组的电动势和内阻(电动势约为6 V，内阻约为2 Ω)，实验原理如图8所示，其中，虚线框内为用灵敏电流计ⓖ改装的电压表V○，A○为标准电流表，E为待测电池组，S为开关，R为滑动变阻器，R0是标准阻值为4.0 Ω的定值电阻．已知灵敏电流计ⓖ的满偏电流Ig=100 μA、内阻约Rg=2.0 kΩ．若要改装后的电压表满偏电压为6 V，需测量灵敏电流计的内阻，研究性学习小组决定用半偏法测灵敏电流计的内阻．

实验中备有下列器材：

待测电流表ⓖ(量程Ig=100 μA)；

电阻箱R′(0～99 999.9 Ω)；

滑动变阻器R1(总电阻约5 kΩ，额定电流0.5 A)；

滑动变阻器R2(总电阻约100 kΩ，额定电流0.5 A)；

电源E(电动势约为6 V，内阻约为2 Ω)；

开关及导线若干.

实验步骤：

(1)若采用如图9所示的电路测定灵敏电流计的内阻，并且要想得到较高的精确度，那么，以上备用的器材中，滑动变阻器R应选用__________．

(2)若实验中测得待测灵敏电流计的内阻Rg=2.0 kΩ，现要想将此灵敏电流计改装成量程为6 V的电压表，则改装的方法是将灵敏电流计与电阻箱R′________联，并将电阻箱的阻值调为________Ω．

(3)请将电路图图8补充完整．

图8 实验原理图

图9 测定灵敏电流计内阻

(4)某次实验的数据如表2所示.

表2 电压表、电流表示数

该小组借鉴“研究匀变速直线运动”实验中计算加速度的方法(逐差法)，计算出电池组的内阻r=______Ω(保留3位有效数字)．

解析：现只针对电池组的内阻r的“逐差法求解”分析如下.

由于本实验中，改装后的电压表所测并非电池组的路端电压，所以无法直接求出电池组内阻，但可以把定值电阻R0等效为电池组内阻的一部分，先用逐差法求出r+R0，再得到r的大小．

所以

r+R0=

5.625 Ω

即

r=1.63 Ω

4 结束语

综上所述，“逐差法”不仅可以求匀变速直线运动的加速度，它实际上是线性关系数据处理的一般方法．在中学理科实验的数据处理中，都可以借鉴该种方法，线性变通后使用，应引起中学教师和考试命题者的关注．以上例题，也能反映出相关考试的一种命题趋势，“逐差法”处理数据准确快速的这一优势，也必然会在今后的高考等各种考试中进一步体现出来．