等价替换在和差极限和幂指极限中的应用

陈彦恒 贾松芳

【摘要】给出了无穷小和差极限的等价替换定理，在此基础上给出了底数是无穷小和差，指数是无穷小和差的幂指函数的等阶替换定理，推广了前人的结果，并通过具体例题说明它们的应用。

【关键词】和差极限 幂指极限 等价无穷小替换

【基金项目】该文由重庆市教委科研资助项目（KJ1710254），重庆三峡学院重点项目（14ZD16），重庆三峡学院数学与统计学院教改项目资助。

【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0118-02

在求某些极限的过程中，利用等价无穷小替换定理，往往能够简化极限的计算过程，给极限求解带来方便，因而等价无穷小是简化极限运算的有力工具。在微积分教学过程中，教师往往只强调函数乘除极限中可以应用等价无穷小替换求极限，同时也叮嘱千万不要在函数和差极限中应用，否则将会出现错误。该文给出了无穷小的和差极限可以用等价无穷小替换的条件，并在此基础上探讨了等价无穷小替换在幂指函数极限中的应用，推广了文献[1-2]的结果。为了方便，该文仅对自变量趋于有限值情形给出相关结论，对自变量趋于无穷大的情形不再赘述但相关结论也是成立的，其它未说明的数学符号与文献[3-4]保持一致。

1.等价无穷小替换在函数和差极限中的应用

由等价无穷小替换定理，我们知道等价无穷小替换只能做无穷小的因式替换，没有涉及到无穷小的和差替换。很容易举出反例说明无穷小的和差替换一般是不正确的。例如文献[3]中的第72页的第9（4）题，如果如下计算：

= =0

那肯定是错误的。实际上，

= （1-cosx）·

= · =

那么在什么条件下，无穷小的和差能进行无穷小的替换呢？我们得到下面无穷小和差的等价替换定理：

定理1 設g（x），g （x），h（x），h （x）在 （x ）上有定义，且当x→x 时，g（x）～g （x），h（x）～h （x），若 =k，则

（1）当k≠1时，有g（x）-h（x）～g （x）-h （x）（x→x ）；

（2）当k≠-1时，有g（x）+h（x）～g （x）+h （x）（x→x ）。

证明：由于g（x）+h（x）写成g（x）-（-h（x）），所以（2）可以转化为（1），从而只需证明（1）即可。

由无穷小量的性质易知g（x）-h（x），g （x）-h （x）都是x→x 的无穷小量。

由于k≠1，从而 = = =1，

所以当x→0时，g（x）-h（x）～g （x）-h （x）。

值得说明的是，当k为无穷大时，定理1的结论仍然成立。

例1 求极限

解 当x→0时，ln（1+x）～x，arcsinx～x，e -1～x，arctanx～x且

=2≠1， = =1≠-1，

根据定理1，定理2得

= = = 。

当然例1也可以利用洛必达法则求得极限，但计算过程会非常繁琐，充分的体现了定理1的重要性。

2.等价无穷小替换在幂指函数极限中的应用

形如y=u（x） 的函数称为幂指函数，其中u（x）>0。求这类函数极限的一般方法是把它转化为复合函数e 的极限，再利用洛必达法则求其极限。在某些幂指函数极限中，也可以利用等价无穷小替换来实现求解，有多位学者研究了这个问题并得到下面的结论：

定理2[2] 设g（x），g （x），h（x），h （x）在x 的空心邻域 （x ）上有定义且g（x）>0，g （x）>0。若当x→x 时，g（x）～g （x），h（x）～h （x），则

g（x） = g （x）

由定理1和定理2可得如下定理，即底数是无穷小和差，指数是无穷小和差的幂指函数的等阶无穷小替换定理，它是定理2的一个推广。

定理3 设f（x），f （x），g（x），g （x），h（x），h （x），r（x），r （x）在 （x ）上有定义且g（x）±h（x）>0，g （x）±h （x）>0。若x→x 时，f（x）～f （x），g（x）～g （x），h（x）～h （x），r（x）～r （x），且 =k， =l，则

（1）当k≠1，l≠1，有

（g（x）-h（x）） = g （x）-h （x）） ；

（2）当k≠-1，l≠-1，有

（g（x）+h（x）） = g （x）+h （x）） ；

（3）当k≠1，l≠-1，有

（g（x）-h（x）） = g （x）-h （x）） ；

（4）当k≠-1，l≠1，有

（g（x）+h（x）） = g （x）+h （x））

需要注意的是，当k，l为无穷大时，定理3的结论仍然成立。

例2 求极限 （arctanx+sinx） 。

解 当x→0 时，arctanx～x，sinx～x，arcsinx～x且满足定理3的（2）的条件，所以 （arctanx+sinx） = （2x） = 2 · （x ） =1。

例3 求极限 （arcsin x+e -1）

解 当x→0时，ln（1+x ）～x ，arcsin x～x ，e -1～x ，arctan x～x 且 =2≠1， = =1≠-1

从而由定理3的（4）得 （arcsin x+e -1） = （2x ） = 2 · （x ） =1。

通过上面的讨论，我们知道在一定的条件下，等价无穷小替换不仅可以在无穷小的和差极限中替换，还可以在底数是无穷小和差，指数是无穷小和差的幂指函数极限中替换，不仅拓宽了等价无穷小替换的使用范围，同时也将会给某些极限带来很多方便，比如简化运算过程，减少计算量等。当然在教学中，可以有意识地让学生来“发现”上述几个定理，这对于拓展学生的视野，培养学生的探索精神和创新能力是有百益而无一害的。

参考文献：

[1]崔玉珍.关于幂指函数极限计算中等价代换问题的研究.河北地质学院学报，1993（3）：304-307.

[2]陈茜，舒慧颖.浅析幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011（4）：8-10.

[3]同济大学数学系.高等数学（上册）（第七版）北京：高等教育出版社，2014.

[4]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）北京：高等教育出版社，2008.

作者简介：

陈彦恒（1980-），男，汉族，河南西平人，副教授，主要从事大学数学的教育教学工作。