圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用

王成

【摘要】圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用一直是高中数学的难点，如何巧妙的结合圆锥曲线的定义进行求解是我们要重视的问题。掌握圆锥参数方程不仅能够帮助解题，还能够培养学生发散性思维和举一反三的解题能力。下面我们针对圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用做简单分析探讨。

【关键词】高中数学 圆锥曲线参数

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0144-01

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线在高中数学解题中主要反映在抛物线、椭圆与双曲线上，掌握这三种曲线的定义即掌握椭圆与双曲线的定义。在进行求解时，需注意解得曲线中某点与焦点之间的关系式关键，通过这种关系我们可以完成曲线的判定，然后在结合定义求解。有一种情况比较特殊，如果圆锥曲线上的一点与两焦点构成三角形，涉及到焦点或者是准线的时候，我们可以运用第一定义结合正余弦定理进行解题。应用过程中的重难点在于让学生养成巧妙运用定义深入剖析题目并解题的意识，所以需要让学生在学习和运用的过程中树立等价转换的思想，尤其注意数形结合， 在解题中将圆锥曲线的各自定义和解题难点切入点进行有效区别和联系。

二、利用定义求轨迹

圆锥曲线定义的应用是解题中常用方法，也是求轨迹的典型方法。比如当我们知道2个定圆O1，O2的半径为a，b，且|O1 O2|=c，存在一个动圆M与圆O1 内切，且与圆O2 外切，以此建立坐标系，求解动圆心M的轨迹方程。这个题目的解决很明显可以利用圆锥曲线的定义来解决解题过程也并不复杂，以O1 O2 的中点O为原点O1 O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，从而得到O1与O2坐标。 接下来通过假设法进行求解，假设动圆M的半径是r，根据已知调节得出|MO1|和|MO2|的值，然后通过相互关系来求得M的轨迹。确定轨迹之后通过焦点与圆中任意一点的关系求得轨迹方程，并根据轨迹方程确定判断该轨迹方程是双曲线的一支。

例1：F1、 F2 是椭圆 + =1（a>b>0）的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1 PF2 的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹。

解：我们可以根据已知条件进行图解法求解（见图一），延长F1Q、F2P相交于点A，由于焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线，因此三角形APF1为等腰三角形。所以 |PF1|=|AP|从而 |AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2a，所以|OQ| = |AP|=a确定垂足为Q的轨迹为圆。

三、利用定义和正余弦定理求焦点三角形

比如常见的求解焦点三角形面积问题，如下题：已知双曲线（a>0，b>0），P为双曲线上任一点，∠F1PF2 =θ，求F1PF2的面积。

这个题目的解答需要在结合定义分析的基础上熟知并巧用正余弦定理，利用面积公式和正余弦得到①和②。

SΔF PF = |PF1|·|PF2|sinθ ①

（2c）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

结合圆锥曲线中双曲线定义得到：|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2 ③

通过② 与③得到|PF1|·|PF2|= ④代入①得出三角形面积SΔF PF =b2 =b2cot ，从而完成题目的解答。

在焦点三角形题目解答中，还有一类常见题目， 即求某点的坐标。比如下题：已知 A（ ，3）为一定点，F为双曲线 - =1 的右焦点，M在双曲线右支上移动，当|AM|+ |MF|最小时，求M点的坐标。

这种是常见的考查距离和最差值的问题，通常需要考虑三角形两边和与差同第三条边之间的关系， 其中利用定义来转换1/2数量关系来解题是常见手法， 这在本题目中也较为典型。

解 過 M 作 MP 垂直准线于点 P，则 |MF|=|MP|，所以|AM|+ |MF|=|AM| +|MP|≤|AP|。当A、M、P三点共线时，|AM|+ |MF|最小。

我们以下面这道题为例，假设 P（x，y）是椭圆 + =1（a>b>0）上一点，F1、F2为椭圆的两焦点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值。这道题可结合椭圆的第二定义得到|PF1|与|PF2|的表达式，根据0 ≤x2 ≤a2得到最大值与最小值。

四、利用定义解求证题

高考常见题目中， 解求证类题目中经常会遇到需要应用第二定义证明的求证抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切或以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交等题目，比如过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线 m，交这抛物线于P1P2两点，求证P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切。

这道题目就是运用抛物线的定义和平面几何知识来证的典型题目，我们假设P1P中点为P0，过P1、 P2、P0分别向准线引垂线P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，则|P1F|=|P1Q1|， |P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，从而确定P0Q0是P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，证实圆与准线相切。

总之，利用圆锥曲线定义解决题目，对定义的了解和应用是根本，结合定义、正余弦定理等解决焦点、三角形、准线、圆锥曲线上的点等题目，可谓事半功倍。

结语

在高中数学中求范围的题所占的比例也很大，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用非常广泛，我们将其进行综合分析，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，也就是求解最值、定值、点的运动轨迹方程、取值范围等，不管是圆锥曲线参数方程在5种参数方程的哪一种，在高中数学的应用都是相对较多的，所以圆锥曲线参数方程在高中数学中属于重点，也属于难点，需要学生认真的学习，在使用圆锥曲线方程进行解题的过程中，不能盲目地解题， 需要锻炼解题思维，锻炼数学思维，在遇到数学问题时，就会沉着应对。通过将曲线方程转化为参数方程，将题的难度降低，运用数学思维解决问题，提高解题效率。