从三阶魔方谈空间图形旋转变换矩阵

【摘要】三阶魔方是最常见的魔方形式，本文是想在课堂教学过程中结合魔方这个有趣的实物，给学生建立空间的思维感，从而引出线性代数中三维空间图形绕坐标轴的任意角度旋转的变换矩阵这个知识点，并引导学生用MATLAB软件实现空间图形的任意角度的旋转。

【关键词】三阶魔方 三维空间 旋转变换矩阵 MATLAB

【Abtstract】The Rubik？蒺s Cube is the most common form of magic cube. The article wants to build a spatial sense of mind for students in class by combining the magic cube？蒺s interesting object， thus this paper introduces the transformation matrix of 3D spatial graphics around the coordinate axis in linear algebra， and uses MATLAB to achieve the rotation of spatial graphics.

【Keywords】The Rubik？蒺s Cube； three-dimensional space； rotation transformation matrix； MATLAB

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0145-02

1.引言

三阶魔方就是我们最常玩的魔方，它是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的。他发明魔方的初衷是希望能帮助学生增强空间思维感。直到魔方在手时，他将魔方转了几下后，才发现怎么把混乱的颜色方块复原？确是个有趣而且困难的问题。Rubik就决心大量生产这种玩具，魔方发明后不久就风靡世界。

本文想借助这个玩具的旋转引出空间图形的旋转问题，我们将魔方放入三维空间坐标系中，赋予它数学方面的内涵。建立空间坐标系后，三阶魔方的玩法实际上就是魔方的层按照X轴，Y轴和Z轴旋转90度，180度或者270度。

1.1三阶魔方绕x轴旋转特定角度

假设魔方上的点C（x，y，z）绕x轴正方向旋转90度转到点H（x1，y1，z1），则矩阵变换关系是：

x1y1z1=x-zy=1 0 00 0 -10 1 0xyz

1.2三阶魔方绕y轴旋转

假设魔方上的点C（x，y，z）绕x轴正方向旋转90度转到点F（x1，y1，z1），则矩阵变换关系是：

x1y1z1=zy-x=0 0 10 1 0-1 0 0xyz

1.3 三阶魔方绕z轴旋转

假设魔方上的点C（x，y，z）绕z轴正方向旋转90度转到点D（x1，y1，z1），则矩阵变换关系是：

x1y1z1=-yxz=0 -1 01 0 00 0 1xyz

2.三维空间图形绕坐标轴的旋转任意角度

三阶魔方只是研究的几种特殊角度情况下的旋转，若以坐标系的三个坐标轴x，y，z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。

2.1任意点绕x轴旋转的变换关系

y'=ycosθ-zsinθz'=ysinθ+zcosθx'=x得矩阵关系

x'y'z'=1 0 00 cosθ -sinθ0 sinθ cosθxyz

2.2 任意点绕y轴旋转的变换关系

z'=zcosθ-xsinθx'=zsinθ+xcosθy'=y得矩陣关系

x'y'z'=cosθ 0 sinθ 0 1 0-sinθ 0 cosθxyz

2.3 任意点绕z轴旋转的变换关系

x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθz'=z得矩阵关系

x'y'z'=cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0 0 0 1 xyz

3.用MATLAB实现三维立方体的任意角度旋转

x=[1 -1 -1 1 -1 -1；-1 -1 1 1 -1 -1；-1 -1 1 1 1 1；1 -1 -1 1 1 1]；

y=[1 1 -1 -1 -1 -1；1 -1 -1 1 1 1；1 -1 -1 1 1 1；1 1 -1 -1 -1 -1]；

z=[1 1 1 1 1 -1；1 1 1 1 1 -1；-1 -1 -1 -1 1 -1；-1 -1 -1 -1 1 -1]；

h1=fill3（x，y，z，'y'） %三维立方体图形

axis equal

hold on

xdir= [1 0 0]

rotate（h1，xdir，30） %三维立方体绕x轴旋转30度角

4.结论

本文通过三阶魔方的旋转引入线性代数的矩阵变换理论，实现了计算机图像的平移，旋转和复合变换，并用matlab 程序实现。

参考文献：

[1]David C. Lay ，刘深泉. 线性代数及其应用原书[M].第3版.北京：机械工业出版社，2005，8.

[2]Rafael C.Gonzalez， 阮秋琦.数字图像处理的MATLAB实现[M].第2版. 北京： 清华大学出版社，2013.

[3]李世春.魔方里的科学和文化[M].北京：高等教育出版社，2015.

[4]杜丽美，李艳玲，侯慧玲.矩阵理论在图形变换中的应用[J].电子测试，2016，9：63-64.

作者简介：

刘浩 （1981年-），女，威海人，青岛职业技术学院讲师，研究生，研究方向为应用数学。