动量守恒中“毛毛虫”模型的分析

何江 严超

摘 要：动量定理和动量守恒定律，是处理力学问题的三大方法之一，也是高中物理的教学重难点之一。而力学问题中，弹簧类问题又由于其弹力一般不是恒力，使得物理过程较为复杂。特别是解决既包含了弹簧问题，又要使用动量守恒和机械能守恒的这一类综合问题，对高中生而言显得尤为困难。将这类复杂问题总结为一类型问题——“毛毛虫”模型，通过先理论上的分析搞清楚其物理机制，再结合典型例题，帮助学生总结规律，达到熟练掌握这类问题的目的。通过解决难题的过程中，让学生明白，很多看起来比较困难的问题，只要抓住了解答问题的关键方法，不仅对解题提升成绩有显著的效果，更能够提高学生学习物理的兴趣和热情。并且在克服学习中的畏难情绪上，也有着非常积极的作用。

关键词：动量守恒定律；机械能守恒定律；弹簧问题

运用动量定理和动量守恒定律，是处理力学问题的三大方法之一，其重要性不言而喻。同时，也是适用范围非常广的物理规律，不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动；不仅适用于单个力，还适用于多个力；不仅适用于恒力，还适用于变力。正因为如此，在高中物理教学中，动量和能量一直是学习和考查的重点，又由于其灵活性和普适性，又是学生学习的难点。在历年高考中都容易失分。因此，为了学好这部分知识，学生需要在掌握好基本的知识方法后，多总结多分类，才能够深刻理解，达到举一反三熟练运用的目的。

这其中有一种和弹簧问题相结合的模型：两个光滑的物体A、B，将轻弹簧连接并使弹簧处于原长，某一时刻给B球一瞬时初速度v0，则以后A、B两球和弹簧将一起在光滑水平面边压缩拉伸边向前运动，好像毛毛虫在地面上爬行，我们将这一类问题统称为“毛毛虫”模型。现在我们结合几道例题来剖析一下“毛毛虫”模型的运动过程及运动过程中的能量、动量特点，掌握了这种模型，很多看似复杂的习题都会变得有规律。

我们先来看一个比较有代表性的例题：

【例题】如下图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间连接一個保持原长的竖直轻弹簧，现给小球m2一个水平向右的初速度v0。如果两杆足够长，则在此后的运动过程中（ ）

考虑如上图所示的运动情况，一轻弹簧的两端与质量分别为m1，m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑水平面上。现使B获得水平向右的瞬时初速度v0，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律是怎么样的呢？

情况a和情况b是弹簧原长和弹簧最大形变量这两种特殊时刻的特征量，但是其他时刻呢？也就是运动的过程中，两物体的速度随时间是怎么变化的呢？下面我们来证明，两物体的运动满足：（1）系统质心匀速直线运动；（2）两物体都做变加速直线运动，速度随时间的变化满足正弦型函数关系。（此处的证明需要用到微积分的知识，对高中生不做要求。）

（此处也可以用更简单的思路来得到质心匀速运动的速度，即任取一个特殊时刻算出其质心速度就是质心整个匀速运动的速度，那么我们就选择弹簧形变量最大时，此时两物体共速，其速度就是质心匀速运动的速度。）

至此我们证明了，两物体速度随时间的变化满足正弦型函数关系，即v-t图是正弦型。我们可以继续分情况讨论情况a中，两物体处于不同的质量关系时，两物体的运动情况：

分析方法同前两种情况一样，有v1=2v共，v2<0。由图可知，在弹簧再次恢复原长时，m1达到最大值v1，但是此时，m2并不是减小为最小值，而最小值也并不是v2，而是0，这是情况3不同于情况1和情况2的特殊之处。

综合考虑上面三种情况，我们再来分析例题中的D选项，不难发现，“当m1速度达到最大时，m2速度最小”这种现象要出现，必须要求m1小于等于m2，但是如果此条件不满足，则当m1还未达到最大速度时，m2就减小到最小速度0了，之后，v1继续增大，而v2则是开始反向加速了。

通过上面的分析，我们在熟练掌握了动量守恒和机械能守恒的基础上，灵活运用v-t图也是可以解决弹簧这一类较困难的“毛毛虫”模型。

通过对“毛毛虫”模型理论上的研究，以及对上面例题的求解和分析，我们可以找到学习物理的规律：对一类有共同的特点的物理现象加以研究，掌握这种物理模型的规律，让我们对物理知识的理解会更透彻，使我们学习物理更轻松有趣，这也是我们学习的重要目的之一。

参考文献：

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程·力学[M].高等教育出版社，2004.

[2]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程[M].高等教育出版社，2012.