分数导数Kelvin粘弹性土中管桩的扭转振动

刘林超，闫启方，牛洁楠

(信阳师范学院 建筑与土木工程学院，河南 信阳 464000)

桩土动力相互作用问题作为一个研究热点得到了众多学者的关注和重视，但无论是研究实芯桩还是管桩的振动特性，对土体本构模型的选取十分关键，这关系到土体力学行为的描述与实际工况的符合程度，通常情况是将土体视为弹性或粘弹性介质，将土体视为弹性介质，Novak等[1]和Nogami等[2]较早地对实芯桩的振动进行了研究，王国才等[3]借助于积分方程研究了均质弹性地基中单桩的扭转振动问题，Lü等[4]利用Rayleigh-Love杆理论和桩土摩擦模型对层状土中桩的纵向振动进行了研究，刘林超等[5]将桩周土、桩芯土和管桩视为轴对称模型研究了弹性土中管桩的纵向振动，栾鲁宝等[6]在考虑桩体剪切变形的情况下得到了PCC桩水平振动响应的解析解，吴文兵等[7]采用Rayleigh-Love动力杆件模型和附加质量模型建立了桩侧土-管桩-土塞系统的纵向振动控制方程，同时，运用积分变换和阻抗函数传递技术给出了频域内任意荷载形式下管桩桩顶速度响应的解析解；将土体视为粘弹性介质，Novak[8]给出了桩基的动力刚度和阻尼，Yao等[9]研究了粘弹性Winkler地基中单桩在水平循环荷载作用下的振动问题，周绪红等[10]在考虑轴力作用的情况下研究了粘弹性介质中桩基的动力问题，杨骁等[11]采用三维轴对称模型得到了粘弹性端承桩的轴对称解析解，郑长杰等[12-13]对单相和饱和粘弹性土中大直径管桩的水平振动进行了研究，吴文斌等[14]利用虚土桩模型研究了均质粘弹性地基中桩土纵向耦合振动问题。需要指出，将桩周土或桩芯土视为弹性介质则不能考虑土体的粘性性质，将土视为粘弹性介质较为符合工程实际，但需选择合理正确的土体粘弹性本构模型。

当将桩周土或桩芯土视为粘弹性介质时，合理的本构关系对于土体力学行为的准确描述至关重要。目前，对于粘弹性材料应力-应变关系的刻画主要是采用经典的粘弹性模型。然而，对于经典的粘弹性本构模型，整数阶微分算子的性质决定其蠕变柔量和松弛模量一般只能通过指数函数的组合得到，且通过取消高阶的微分项或者降低本构模型的应用范围来精确拟合实验数据[15]。随着分数阶微分和分数阶积分的发展，借助于分数导数理论建立起来的分数导数粘弹性本构模型由于具有确定模型需要较少的实验参数和能在较宽的频率范围内拟合材料的力学行为而得到了广泛的应用。将桩周土体视为粘弹性介质并采用分数导数粘弹性模型来描述其应力-应变关系，刘林超等[16-17]、闻敏杰等[18]研究了实芯桩的水平、竖向和扭转振动问题。本文将桩周土和桩芯土都利用分数导数Kelvin粘弹性本构模型来描述，研究分数导数Klevin粘弹性土中管桩的扭转振动特性。

1 数学模型与土体运动方程

图1为粘弹性土与端承管桩的动力相互作用模型，管桩桩顶作用一集中扭转荷载T(t)，粘弹性土层厚度和管桩长度均为H，管桩外半径和内半径分别为r1和r2。为了建立管桩与粘弹性土体的动力相互作用模型，假设管桩桩芯土体和桩周土体均为粘弹性土体，且桩芯土和桩周土均与管桩完全接触；管桩底部为基岩，管桩底端为固定端；管桩、桩周土和桩芯土均为小变形。

图1 粘弹性土-管桩扭转相互作用模型Fig.1 Torsional interaction model of

这里以β=1代表桩周粘弹性土体，β=2代表桩芯粘弹性土体，可以建立轴对称坐标下桩周粘弹性土和桩芯粘弹性土的运动方程和几何方程分别为[19]

(1)

(2)

式中:σrrβ,σθθβ,σrzβ分别为粘弹性土体径向应力、环向应力和剪切应力，urβ，uθβ，uzβ分别为粘弹性土体的径向位移、环向位移和竖向位移，ρβ为粘弹性土体的密度，uβ为粘弹性土体的位移张量。

为了更合理地考虑桩周土和桩芯土的粘弹性性质，采用分数导数Kelvin粘弹性模型构建桩周土和桩芯土的三维本构关系，即[20]

(3)

对于粘弹性土体中管桩的扭转简谐振动问题，为了简化计算，这里只考虑桩周土和桩芯土的环向位移uθβ，其他位移忽略不计，在此情况下由式(1)～式(3)可以建立分数导数粘弹性土体以环向位移表示的桩周土和桩芯土的扭转振动控制方程为

(4)

很明显，式(4)即适用于分数导数Kelvin粘弹性土体的扭转振动，也适用于经典Kelvin(αβ=1)粘弹性土体以及弹性土体(aβ=bβ=0)的情形。

2 分数导数Kelvin粘弹性土层的扭转振动求解

令式(4)中β=1和β=2可得分数导数Kelvin粘弹性桩周土和桩芯土的扭转振动方程分别为

(5)

(6)

对方程式(5)和式(6)两端分别进行Fourier变换可得

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式(11)和式(14)中，I1(·)、K1(·)分别为1阶第1和第2类虚宗量贝塞尔函数，A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2为待定系数。

cos(m1δ)=0，cos(m2δ)=0

(17)

由式(17)可得到

(18)

则分数导数Kelvin粘弹性桩周土和桩芯土的环向位移可以分别用级数表示为

(19)

(20)

式中：A2n、B2n为待定系数。考虑分数导数Kelvin粘弹性体本构关系式(3)，并对其进行Fourier变换，则有

(21)

(22)

(23)

(24)

3 分数导数Kelvin粘弹性土端承管桩的扭转振动求解

以管桩桩身微元作为研究对象可以建立分数导数Kelvin粘弹性土中管桩的扭转振动控制方程为

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

考虑管桩与桩周土和桩芯土接触面边界条件式(28)，由式(19)、式(20)可得

(30)

(31)

(32)

(33)

由此可得分数导数Kelvin粘弹性土中管桩扭转振动的扭转角为

(34)

进而可以得到频率域内分数导数Kelvin粘弹性土管桩桩顶的扭转复刚度

(35)

4 数值算例分析与讨论

为了研究分数导数Kelvin粘弹性土中管桩的扭转振动响应特性，根据式(35)得到的管桩桩顶扭转复刚度编写计算程序并进行数值分析，图2—图11为：管桩与桩周土剪切模量比Gp=2 000，分数导数阶数α1=α2=0.5，管桩长径比δ=20，管桩与桩周土密度比ρp/ρ1=2.0，土体分数导数本构模型参数Ta1=Ta2=2.0，Tb1=Tb2=4.0，桩芯土与桩周土剪切模量比μ=1.0，以上参量的取值是在桩身混凝土和土体实际常用参量值的基础上确定的，土体分数导数模型参数可以通过实验数据拟合的方法得到[22]。图2给出了管桩扭转振动的分数导数粘弹性解、经典粘弹性解和弹性解的对比，可以看出，分数导数粘弹性解可退化到经典粘弹性和弹性解的情况，间接说明采用分数导数粘弹性模型分析管桩扭转振动的可行性和正确性，且弹性解的扭转复刚度要较粘弹性解大。图3和图4分别给出了桩周土和桩芯土本构关系中分数导数的阶数α1、α2不同时对管桩扭转复刚度的影响，可以看出，桩周土分数导数的阶数α1对扭转复刚度的实部和虚部的影响相对较大，且分数导数的阶数越大，扭转复刚度实部和虚部随频率变化曲线的峰值越小；而桩芯土分数导数的阶数α2对扭转复刚度的影响与频率有关，频率较低时α2几乎没有影响，而高频时有一定的影响。图5和图6给出了参数Tb1和Tb2不同时复刚度随频率的变化曲线，Tb1和Tb2对扭转复刚度的影响与分数导数的阶数α1和α2的影响规律类似，即Tb1的影响较大且Tb1越大扭转复刚度的实部和虚部随频率变化曲线的峰值越小，而Tb2的影响与频率有关。由图7和图8可知，当桩芯土与桩周土剪切模量比μ大于1时，其对管桩桩顶扭转复刚度几乎没有影响，这可能是因为桩芯土与管桩接触面相对较小，导致增大桩芯土剪切模量时其对管桩的剪切作用力增大不明显；当μ小于1且较小时剪切模量比对管桩复刚度有一定的影响但不是太大，但当μ较大时扭转复刚度实部和虚部随频率变化曲线波动则较大。管桩壁厚对扭转复刚度的影响较大(如图9)，随着桩周内半径的增大，即管桩壁厚的减小，扭转复刚度实部和虚部随频率变化曲线峰值对应的频率越小，曲线波动越大。与实芯桩一样，管桩长径比(图10)和管桩与土体的剪切模量比(图11)对管桩的影响也较大，管桩长径比越大复刚度的实部和虚部越小，桩长较长时长径比的影响程度将减小；随着管桩与土体剪切模量比的增大，管桩桩顶复刚度实部和虚部越大，这可能是因为管桩模量较大时管桩抗扭刚度大，管桩扭转角小而导致复刚度增大。

图2 α13种模型对比分析Fig.2 Contrastive analysis of three models

图3 α1不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.3 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different α1

图4 α2不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.4 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different α2

图5 Tb1不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.5 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different Tb1

图6 Tb2不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.6 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different Tb2

图7 μ不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.7 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different μ

图8 μ不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.8 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different μ

图9 r2/r1不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.9 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different

图10 δ不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.10 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different δ

图11 Gp不同时桩顶扭转复刚度随频率变化曲线Fig.11 Curves of the torsional complex stiffness varying with frequency for different

5 结论

考虑桩周土和桩芯土的粘弹性特性，并借助分数导数Kelvin粘弹性模型描述土体的应力-应变关系，研究了分数导数粘弹性土中管桩的扭转振动。得到以下主要结论：

1)桩周土本构模型参数α1和Tb1对管桩的振动的影较大，而桩芯土本构模型参数Tb2和和α2对管桩的扭转振动的影响与频率有关，即高频时有影响低频时几乎没有影响。

2)桩芯土与桩周土剪切模量比μ大于1和小于1时对管桩桩顶扭转复刚度的影响规律不同，当桩芯土剪切模量较小时需要考虑桩周土和桩芯土力学性质的差异的影响。

3)管桩内外半径比和长径比等几何特性和桩土模量比等力学特性对管桩扭转振动影响较大，需要重点考虑。