一类二次函数的最佳一致线性逼近的思想方法及其应用

广东省珠海市斗门区第一中学(519000) 李 凯

在竞赛题中,经常遇到含参二次函数在有界闭区间中的最值问题,有时含的参数不止一个,直接讨论函数的对称轴与区间端点的关系,面临着很大的计算量,笔者发现这类问题的原型即为二次函数的最佳一致线性逼近,不需要高等数学中的理论,通过计算区间端点处的函数值和区间中点处的函数值得到一个关系式,再加上绝对值不等式的性质即能破解这类问题.

一、结论的推导

对(∗)式的直观解释：等式左边是区间端点处函数值的和再减去区间中点处函数值的2倍,而二次函数的最值一般在区间端点处或对称轴处取得,所以左式与函数的最值有关;等式的右边中a代表抛物线的开口大小,而|n-m|为区间的长度,右式与抛物线开口以及区间长度有关.

对(∗)式两边同时取绝对值可得：

设|f(x)|=|ax2+bx+c|在区间[m,n]内的最大值为|f|max,

则

即

而|f|max=max{|fmax|,|fmin|}(其中fmax,fmin分别为f(x)在区间[m,n]上的最大值,最小值),当a为定值时,(∗∗)式揭示了区间长度与函数最值的一个不等关系,即函数在有界闭区间上的最值与区间长度可相互进行估计.

二、在竞赛题中的应用

例1(2017年全国高中数学联赛一试(A卷)第9题)设k,m为实数,不等式|x2-kx-m|≤1对所有x∈[a,b]成立.证明：

证明设f(x)=x2-kx-m,设当x∈[a,b]时|f(x)|的最大值为|f|max,由题意知|f|max≤ 1,根据(∗∗)式可得|b-a|2≤ 8|f|max,故|b-a|2≤ 8,得

例2(竞赛题改编)设g(x)=|x2-ax-b|(a,b∈R)在[1,2]上的最大值为M(a,b),求M(a,b)的最小值以及当M(a,b)取最小值时对应的a,b值.

对等号成立条件的简单说明：即区间的中点值恰为二次函数对称轴与x轴交点的横坐标,且函数在区间端点处和对称轴处交替取得最大最小值,且最大最小值互为相反数.

例3(2010年全国高中数学联赛一试(A卷)第9题)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0),当0≤x≤1时,|f′(x)|≤ 1,试求a的最大值.

解设g(x)=f′(x)=3ax2+2bx+c,当x∈[0,1]时,记|g(x)|的最大值为|g|max.由已知当0≤x≤ 1时,|g(x)|≤ 1恒成立,故|g|max≤ 1,根据 (∗∗)式可得：|3a||1-0|2≤8|g|max≤8,故,即.完全仿照(∗∗)式“等号”成立的条件,取满足题意,此时g(x)=8x2-8x+1=3ax2+2bx+c.故,即形如能满足题意,再结合,知a的最大值为.

三、总结与巩固练习

1.(2015年北京大学自主招生第3题)若|x2+px+q|≤2对任意的x∈[1,5]都成立,则不超过的最大整数是___.

提示与解答：1.令f(x)=x2+px+q(x∈[1,5]),根据 (∗∗)式|5-1|2≤ 8|f|max,即|f|max≥ 2.由已知条件|f|max≤2,故必有|f|max=2,而由等号成立的条件可计算出p=-6,q=7,这样不超过的最大整数是9.