高中数学课堂变式教学

金银银

（合肥七中，安徽 合肥）

本文将运用具体教学实例来探究教学引入过程中的变式思维对学生知识生成系统性的作用，以及例习题处理中该如何做到一题多变，让学生对教材中的概念定理公式多角度、多层次深入理解，从而进一步锻炼学生的数学思维。本文将从概念变式、规则变式、操作过程变式三个方面进行阐述。

一、数学概念变式

数学概念变式，就是从数学概念的非本质属性出发，通过各种概念的等价形式让学生深入理解概念。

双曲线概念：

在双曲线标准方程这节的课程导入上，可以直接将课本椭圆概念中的距离之和变为距离之差，向学生提问。也可以从几何画板中椭圆的作图过程出发，取两定点F1、F2，以F2为圆心、2a为半径作圆，使得点F1落在圆内，此时连接 PF1，作其中垂线与PF2交于点M，易得当点P在圆上运动时追踪轨迹就是椭圆。

图1 椭圆

图2 双曲线

试问：若将点F1拖至圆外，此时那么点 P 在圆上运动时追踪轨迹会是什么？通过简单的图形变换，让学生对概念的外延认知更加深刻，直观形象地观察出轨迹是双曲线，再通过对其代数形式的探究，类比得到双曲线的定义：比直接根据概念变形让学生抽象想象来得更加深刻，有助于学生发现知识之间的联系，使得知识网络更加立体系统。

二、规则变式

在教学过程中，教师需要有目的、有计划地对教材例题进行合理的整合、转化与改造。规则变式就是保持规则的本质特征，创设一系列与关键词相关的问题和情境，让学生多角度理解和运用。

1.排列组合问题

人教A版选修2-3中排列组合问题，对于学生的思维缜密性要求很高，如果教师在处理这部分内容时能够用到规则变式，紧密围绕一个题根，不断变换条件，让学生在变式中掌握其本质特征，找准入手点，就可以各个击破。

例题：用 1，2，3，4，5，6 六位数字

（1）组成不重复的六位数；（2）组成不重复的六位偶数；

（3）组成小于400000不重复的六位数；（4）组成小于400000不重复的六位偶数.

接下来对题根进行变形，换成需要特殊处理的元素0.

变式：用 0，1，2，3，4，5 六位数字

（1）组成不重复的六位数；（2）组成不重复的六位偶数；

（3）组成小于400000不重复的六位数；（4）组成小于400000不重复的六位偶数.

2.基本不等式问题

从最基础的基本不等式入手，多方位变形，第（4）题可以自然引入对勾函数y型函数，帮助学生利用换元法等全面掌握基本不等式解决函数的最值问题。

三、操作过程变式

教师备课时，应根据学情预想学生在课堂学习过程中产生的困难，设置变式练习做到题目难度层层递进，辅助学生理解概念，这就是操作过程变式，即根据问题的层次性和学生认知的阶段性，以小步骤递进的方式呈现问题，助学生拾级而上。

线性规划问题：

必修五人教A版教材中简单的线性规划问题，引例“工厂生产产品”单位为“个”，会涉及整点问题，直接接触难度较大，若在备课时将单位更换为“吨”，先处理非整数点问题，介绍概念后，再考虑整点问题，题目难度层层递进，符合学生思维认知水平，也有助于学生自主探究。

在找出可行域后，进一步考虑最优解问题，可安排以下几个变式帮助学生熟悉解题方式，一步步深入理解线性规划问题。

（1）生产一吨甲获利2万元，一吨乙获利3万元，采用哪种生产安排获利最大？

（2）生产一吨甲获利1万元，一吨乙获利3万元，采用哪种生产安排获利最大？

（3）生产一吨甲获利1万元，一吨乙获利2万元，采用哪种生产安排获利最大？

其中涉及目标函数的斜率比已知直线斜率小、大、相等，多方位多角度得出解题规律，全面认知线性规划问题。

以上所总结三个方面的变式也许能够给教师备课时提供思路与灵感，备课要做到精心设计，层层深入教学过程，方能取得良好的教学效果，对于一些引入过程和例习题的变式，不但能巩固新知和技能，还能防止思维定式，对于学生思维的灵活性、批判性、创造性具有十分重要的作用。