文化篇：折出中国的传统文化

【编者的话】折纸是一门艺术，但并非仅此而已.有了数学方面的帮助，很多中国的传统文化方面的素材也可以被惟妙惟肖地还原出来，今天，就请常老师给大家介绍一些有趣好玩的素材，千万不要错过！

1 妙折七巧板，拼摆多边形

（一）作品简介

七巧板，早在宋朝就有了.对正方形作如图1的分割得到七巧板却是清朝的事了.18世纪七巧板传到欧洲后，连法国皇帝拿破仑都喜爱把玩.

如图2，用一张A4纸裁剪成7块等比例长方形，再折出一套完整的七巧板令人叹为观止，据说该设计来自日本.此外中国人对于七巧板拼凸多边形问题有重大贡献.

（二）制作过程

1.三角形折法

a）裁下一块用来折三角形的模板，按照印刷好的折痕位置和方向预先折好所有折痕，如图3所示.

b）折出双三角.

c）将下边的梯形塞人双三角的上面三角形口袋中.

d）整理压平.

e）重复a～d的过程，再做4个大小不一的三角形.

2.正方形折法

a）裁剪下用于折叠正方形的一块长方形模板纸.

b）按照印刷好的折痕位置和方向预先折出所有的折痕，如图4所示.

c）折出一个双正方形的结构.

d）将多余的长方形分别塞人到口袋中.

3.平行四边形的折法

a）裁剪下用于折叠平行四边形的一块长方形模板纸，照印刷好的折痕位置和方向预先折出所有的折痕，如图5所示.

b）折出一个直角梯形.将图中右下的三角形内陷形成一个“鸟嘴”，同时将左下的角折好塞人到“鸟嘴”的后面一层压平.

c）做第二个“鸟嘴”，将剩下的一个鸟嘴结构完成，随后将剩下的角塞人“鸟嘴”中.整理压平.

（三）怎么玩

用纸来折叠出七巧板比买一副现成的七巧板多了些“DIY”的乐趣.藏些柔性的薄塑料磁铁在里面，就能把七巧板挂在冰箱上玩了.如图6，还可以用蜡笔或水彩笔给七巧板上色，探究一下中国人发明的定理吧：拼出尽可能多的七巧板凸多边形.

2 编织镂空纸足球

编织是人类最古老的手工艺之一.最早可以追溯到石器时代，编织花样繁多，所用原材料也是随手可得，如藤编、柳编、竹编、棕编、草编、麦秆编等都是著名的手工艺品.

今天的编织镂空纸足球，也是受图1编织竹足球的启发，由常博士来为大家讲解其中的编织原理.

（一）作品简介

可以通过编织的方法用6条纸带制作出一个镂空足球.这种足球有12个正五边形的洞和20个交汇点，在制作时每条纸带的接口处需要用胶带粘合连接.

这个作品花边图案采用三色正三角形密铺而成，编织完成后可以通过调整纸带的相对位置产生对称的球面图案，作品数学内涵在于平面材料上三角形转换到立体球面结构后产生了对称的花纹.编织过程体现了简单的扭结理论：环环相扣的六环没有一个是特殊的，它们完全对称地交叉编织出立体球面结构.

（二）制作过程

1.裁剪，从材料模板（出自学具《动手动脑 玩转数学》）上剪下6条纸条备用，如图3所示，该纸条也可以自己制作，注意长宽比为10√3：1即可.

2.编织.如图4，将6条纸带中任意5条编织成一个五角星.注意重叠地方一律要顺着个方向覆盖.

3.如图5，加入第六条纸带，步骤2结束后应该已经是立体结构.将第六条纸带先粘合成一个圈，然后将它编织进入五角星的10个开放端中.注意重叠规律同步骤2.

4.收口.整理好上下重叠关系后依次将五条纸带的两端粘合成圈.成品结果如图2.

（三）怎样玩

作品可以当摆设陈列于房间中，也可作为玩具球抛掷，如果掌握了编织过程和材料的长宽比，改用塑料或竹篾来制作此足球效果会更佳，

当然，如果你掌握了其中的原理，不妨再想一想，下面的“蝈蝈笼”（如图6）又是如何制成的呢？

3 榫卯结构与组合折纸

榫卯（sun mao），是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.凸出部分叫榫（或叫榫头）；凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）.榫卯結构十分精巧，现在我们虽然用得少了，但它还是有值得我们借鉴的地方.

（一）

中国古代的能工巧匠可以不用一根钉子就建起一幢屋子甚至宫殿，奥妙就在于榫卯结构的应用，其实，折纸中也可以体现出这种结构的奇妙作用，

我们就来通过折纸制作一个正四面体的框架结构，用榫卯插接方法建成而不靠任何其他连接手段，

准备

为了做基本构件，先取一张A4纸纵横裁成如下的8条纸条（如图1）.取其中一条来作如下折叠：

1.如图2，对折长边，再“门”折.

2.如图3，将单头的直角整体向上折，与长边成一个30°角.

3.打开此结构，沉折一个角（如图4）.

4.盖上左翼，整体折30°角平分线（如图5）.

5.另一端同上步骤1，2，3.完成图如图6所示.

插合

开头提到榫卯结构，其实这个基本型中就既有榫也有卯了.榫头就是那两个直角，卯孔就是沉下去的口袋.

所以插合的时候自然就是榫头人卯孔，但是如何保证不掉开呢？那就是靠插合后的“脊线”拱起来而实现.

所谓的“脊线”就是基本型折叠过程中产生的第一道折痕.图7示意了插合的过程.

拱起的脊线能够有效增加摩擦力，使得插合变得结实.当三个基本构件两两互插之后就形成一个稳定的三脚架结构，如图8所示.

纸榫卯还可以以其他各种角度衔接.例如图9实现了正交衔接，每个角都是90°.折这个结构就需稍加改进一下折法.我们将在（二）中继续探索.

（二）

前面，我们介绍了折纸圈里的一种组合折法，用到了榫卯的连接思想，使得原本独立的两个零件在拐弯的地方连接起来，比如许多多面体的组合折法.本文将继续介绍还不多见的90°三向插合技术，

先介绍一个零件的制作流程：

1.取A4纸1张如图10裁开成12条.

2.其中每条按图11所示来折成零件（注意箭头的指示）.

3.安装，按照图12的示意将12个零件插接成一个正方体.

小贴士：通过先压平零件背后的筋可使插合更容易，待三零件的头部都到位后再使棱突起复位.

榫卯纸结构体现了中华古老的技艺在新的领域——折纸上焕发了新的青春，