“1”的代换在基本不等式中的拓展应用

程鹏

“整式和为定值求分式的最值”，或者“分式和为定值求整式的最值”这两类问题我们一般考虑用“1”的代换，再利用基本不等式求最值.这种方法，同学们一般不容易想到，即使想到了，又不会变形，转化为熟悉的问题来处理，問题的根源还是在于对“1”的代换这种方法理解不深刻，方法运用不熟练.追根溯源，下面从一道练习题说起，

点评 求分式的最值，如果整式可以用分母及常数来线性表示，且其和为定值的形式，即ax +by =c（a，b，c为常数，x，y可以是变量也可以是一个式子），那么就可以用“1”的代换结合基本不等式求最值，

分析 因2m+（1-2m） =l，即分母的线性和运算为定值，故可以考虑用“1”的代换.

分析 因a+（b+1）=3，即分母的线性和运算为定值，故可以考虑用“1”的代换.

分析 求整式的最值，如果整式可以用分母及常数来线性表示，且分式和为定值的形式，即a/x十b/y=c（a，b，c为常数，x，y可以是变量也可以是一个式子），那么就可以用“1”的代换结合基本不等式求最值.解题过程同例1（略）.

分析 如果xy能用分母及常数线性表示，那么该问题也可以用“1”的代换.

小结 一是无论求整式还是分式的最值，第一步都可以考虑将整式用分母和常数线性表示，通过换元法（换分母，换变量，换条件，换问题），最终将问题转化为熟悉的两类基本题型，再使用“1”的代换顺利解决；二是在“三相等”这一步验证等号是否成立时，选取的方程是基本不等式成立的条件对应的一个方程，另一个是整式方程，这个整式方程可能是条件直接给的如类似例1的题目，还有可能是式子取最值对应的方程如类似例2的题目.最终的目的就是让方程组求解尽可能简单.