产需不确定下基于零售商风险规避的三级供应链组合契约模型

朱宝琳，崔世旭，戢守峰，邱若臻

(东北大学工商管理学院，辽宁 沈阳 110167)

1 引言

现代科技的快速发展在提高效率和缩短产品周期的同时，导致不确定性和风险的增加。如钢铁、石油等行业受经济和产业结构等因素的影响，市场需求呈现随机的特性。其供应商(铁矿石、原油)和制造商(炼钢厂、炼油厂)受生产工艺等因素的影响，产出呈现不确定性。近年来，针对供应链的产出和需求不确定性的研究受到相关学者的关注。如：Chung Wu Chenghan[1]研究了产出和需求不确定下由单一传统设备制造商(OEM)、制造商和分销商组成的供应链协调问题。研究表明通过制造商与OEM的协调，使得制造商利润增加，并能够满足分销商的需求。Mehmet等[2]分析了供需不确定性对产出和成本的影响，表明供应不确定下供应链的成本更高，产量更少。Hu Fei[3]等研究了供需不确定下制造商和零售商之间的柔性订货策略，发现柔性订货策略下供应链的总利润更高，提出改进的收益共享契约实现供应链协调。Keren[4]研究了基于报童模型的加法型和乘法型两种产出不确定供应链协调问题，分析表明制造商可以通过设定最优产量来实现利润最大化，分销商通过计算其最优订购量实现供应链协调。Li Jian等[5]考虑了产需不确定下单一零售商和多个供应商组成供应链的协调问题，探讨了零售商订货策略和供应商定价决策的关系，通过供应链协调实现利润最大化。Li Xiang等[6]研究了产需不确定的两级供应链模型，通过分析需求确定和不确定两种情况，利用惩罚契约和批发价格契约实现供应链协调。赵霞等[7]研究了产需不确定下制造商和零售商组成的两级供应链协调问题，提出一种可协调供应链的收益和产出风险共享合同，实现供应链协调。朱宝琳等[8]研究了基于供应商、制造商随机产出和零售商随机需求的三级供应链协调问题，证明随机产出和需求下运用风险共担契约可以使分散期望利润达到集中决策的水平。以上研究都是在假设供应链成员风险中性下进行的，未能考虑风险偏好对决策者的影响。

现实中，决策者往往表现出风险偏好的特性。针对带有风险偏好的供应链的研究包括：杨磊等[9]研究了带有两种能力约束的零售商最优订购策略，分析了风险规避对订购策略的影响。Ozgun等[10]研究了制造商数量折扣下零售商风险规避的价格问题，通过纳什均衡理论分析了风险规避对决策的影响。Ma Lijun等[11]研究了零售商风险规避下两级供应链的讨价还价问题，证明供应链中存在基于批发价格和订购量的纳什均衡。Huynh等[12]研究了风险规避零售商的最优价格策略，研究表明风险规避时零售商的最优采购价格更低。Chen Xu等[13]研究了零售商风险规避下两级供应链的协调问题，分析了风险规避零售商最优订购量和零售价格之间的关系，通过期权契约实现了供应链协调。Chung和Lu Yuting[14]研究了两个风险规避零售商和一个制造商组成的供应链退货策略问题，分析了风险规避等相关参数对制造商和零售商决策的影响。Xiao Tiaojun等[15]研究了风险规避制造商和零售商组成供应链的定价和产品策略问题，分析了风险规避对定价和产品决策的影响。代建生和秦开大[16]研究了零售商风险规避下集中和分散情况的供应链回购契约设计问题，分析零售商风险规避程度对契约设计和供应链收益的影响。Hu Benyong等[17]研究了两级和三级供应链结构下收益共享契约对供应链协调的影响，比较了风险中性和风险规避下零售商的订货策略和利润。

契约机制是供应链协调的常用方法。针对供应链的契约协调问题，学术界进行了大量研究[18-22]。相关研究表明单一契约不能解决多级供应链的协调问题，如He Yong和Zhao Xuan[23]证明了单一批发价格契约不能协调三级供应链，提出回购和批发价格组合契约可以实现供应链的协调。上述研究一般采用单一契约进行供应链的协调。本文针对不确定条件下零售商风险规避的三级供应链协调问题，分别建立了集中和分散的最优决策模型，通过设计风险共担和GL组合契约对三级供应链进行协调。本文讨论了风险规避对供应链期望效用和订购量的影响，分析了风险规避对供应链期望效益的影响。探讨并证明了组合契约协调问题及契约参数之间的关系。最后通过算例验证了模型和契约协调的有效性。

2 问题描述与研究假设

2.1 问题定义与描述

本文考虑单一供应商、制造商和零售商组成的三级供应链，成员以自身利益最大化为目标。考虑生产中受到不确定因素的影响，假设供应商和制造商的产出不确定。如图1所示：

图1 零售商风险规避情况下产需不确定三级供应链结构图

供应商的原材料的投入量为L，实际产出量为αL，α为非负随机变量，分布函数是H(z)，概率密度函数是h(z)，假设h(z)分布在区间[A,B]，0

(1)

其中，π是零售商的利润，π0是初始点。λ是风险规避系数，λ>1代表零售商为风险规避，并且λ值越大，风险规避程度越高。λ=1代表零售商为风险中性。

2.2 符号与参数说明

参数含义P零售商销售价格wm制造商单位产品的批发价格ws供应商单位产品的批发价格Sp制造商二级市场购买价格Cp供应商二级市场购买价格D市场需求F(x)市场需求的分布函数,F(x)=1-F(x)f(x)市场需求的概率密度函数μ3市场需求的均值σ市场需求的标准差α供应商随机产出因子(α≥0)H(z)α的分布函数h(z)α的概率密度函数μ1α的均值v制造商随机产出因子G(y)v的分布函数g(y)v的概率密度函数μ2v的均值β制造商的收益共享比例γ制造商的损失分担比例L供应商的原材料投入量R制造商的投入量Q零售商的订购量Cr零售商的销售成本Cm制造商的制造成本Cs供应商的生产成本Vr零售商剩余产品的残值Vs供应商剩余产品的残值g零售商的缺货成本πT供应链整体利润πs供应商的利润πm制造商的利润πr零售商的利润a供应商现货市场购买单位补偿b供应商对制造商剩余产品的单位补偿c制造商现货市场购买单位补偿d制造商剩余原材料单位补偿Δ缺货成本和过量成本差

3 分散供应链最优决策模型

3.1 风险规避零售商决策模型

零售商的利润函数表示为：

Πr=Pmin(Q,D)+Vr(Q-D)+-g(D-Q)+-Q(wm+Cr)

(2)

第一项代表零售商的销售收入，第二项代表残值收入，第三项代表缺货成本，第四项代表购买成本和销售成本。零售商期望利润函数为：

E(πr)=PS(Q)+Vr[Q-S(Q)]-g[μ3-S(Q)]-(Cr+Wm)Q=(P+g-Vr)S(Q)+(Vr-Wm-Cr)Q-gμ3

(3)

E(πr)=

令π1π2为零，可以得到市场需求D的临界值：

当D≤D1或D>D2时，E(πr)<0；D10。零售商的期望利润函数可表示为：

(4)

定理1分散情况下存在唯一的Q使零售商的期望利润最大，且满足：

(5)

证明 在(4)式中对Q分别求一阶和二阶偏导可得：

由一阶偏导为零可得式(5)。由二阶偏导小于零可知，存在唯一的Q使零售商的期望利润最大。定理1得证。

定理2Δ>0时，Q随着λ的增大而增大，零售商风险规避时的最优订购量大于风险中性时的最优订购量；Δ<0时，Q随着λ的增大而减小，零售商风险规避时的最优订购量小于风险中性时的最优订购量。

3.2 制造商决策模型

制造商的利润函数表示为：

Πm=WmQ+Vm(vR-Q)+-Sp(Q-vR)+-CmR-WsR

(6)

第一项表示制造商的销售收入，第二项表示残值收入，第三项表示从现货市场购买产品的成本，第四项表示制造成本，第五项表示从供应商的采购成本。制造商期望利润函数为：

E(πm)=(Wm-Sp)Q+(Sp-Vm)S(R,Q)-(Ws+Cm-Vmμ2)R

(7)

其中：

定理3在分散情况下存在唯一的R使制造商的期望利润最大化。并且R满足条件：

(8)

证明 对其分别求一阶和二阶偏导可得：

由二阶偏导小于零，可知存在唯一的R使制造商的期望利润最大。令一阶导为零，可得式(8)。定理3得证。

3.3 供应商决策模型

供应商的利润函数表示为：

Πs=WsR+Vs(αL-R)+-Cp(R-αL)+-CsL

(9)

第一项表示供应商的销售收入，第二项表示残值收入，第三项表示从现货市场购买原材料的成本，第四项表示生产成本。供应商期望利润函数为：

E(πs)=(Ws-Cp)R-(Cs-Vsμ1)L+(Cp-Vs)S(L,R)

(10)

其中：

定理4在分散情况下存在唯一的L使供应商的期望利润最大。并且L满足条件：

(11)

证明 对其分别求一阶和二阶偏导可得：

由二阶偏导小于零，可知存在唯一的L使供应商的期望利润最大。令一阶偏导为零，得到式(11)。定理4得证。

4 集中供应链最优决策模型

集中情况下，供应链中各成员是一个整体，以实现供应链的整体利润最大化为目标。集中情况下的供应链利润函数可表示为：

∏T=pmin(Q,D)+Vr(Q-D)++Vm(vR-Q)++Vs(αL-R)+-g(D-Q)+-Sp(Q-vR)+-Cp(R-αL)+-CrQ-CmR-CsL

(12)

式(12)表示零售商的销售收入、零售商的残值收入、制造商的残值收入、供应商的残值收入、零售商的缺货成本、制造商在现货市场购买产品的成本、供应商在现货市场购买原材料的成本、零售商的销售成本、制造商的制造成本、供应商的生产成本之和。集中情况下供应链的期望利润函数为：

E(πT)=PS(Q)+Vr[Q-S(Q)]+Vm[μ2R-S(R,Q)]+Vs[μ1L-S(L,R)]-g[μ3-S(Q)]-Sp[Q-S(R,Q)]-Cp[R-S(L,R)]-CrQ-CmR-CsL=(P+g-Vr)S(Q)-(Vm-Sp)S(R,Q)-(Vs-Cp)

S(L,R)+(Vr-Sp-Cr)Q+(Vmμ2-Cm-Cp)R+(Vsμ1-Cs)L-gμ3

(13)

定理5集中情况下存在唯一的Q、R、L使供应链的期望利润最大。且满足条件：

(14)

证明 分别对Q、R、L求一阶和二阶偏导可得海赛矩阵如下：

|H3(L,R,Q)|<0

5 零售商风险规避的供应链组合契约模型

针对单一契约协调三级供应链存在的不足，本文引入风险共担和GL组合契约对供应链进行协调。风险共担契约采用单位价格补贴的方式，使供应链成员互相分担产出和需求的风险。GL(Gain/Loss)契约是改进后的收益共享契约，考虑供应链成员的收益和损失两种情况，具有较好的协调特性[24-25]。本文的契约机制具体描述为：①制造商和零售商之间运用GL契约，参数为(β,γ)。β为制造商对零售商的收益共享比例，γ为制造商对零售商损失的分担比例。零售商的收益比例为(1-β)，承担的损失比例为(1-γ)。②供应商和制造商之间运用风险共担契约。若制造商生产的数量vRQ，制造商因为生产过多而产生额外的成本，供应商给予每单位b的补偿。③若供应商的生产数量αLR，供应商因为生产过多而产生额外的成本，制造商给予每单位d的补偿。

5.1 契约协调下零售商风险规避决策模型

契约协调下零售商的收益函数为：

(15)

契约协调下零售商损失函数为：

(16)

契约协调下零售商的期望收益函数为：

E[U(πr)]=(1-β)G(x,Q)+λ(1-γ)L(x,Q)=(1-β)E(πr)+[λ(1-γ)-(1-β)]L(x,Q)

(17)

定理6契约协调下的零售商最优订购量满足：

( 18)

证明 在式(17)中分别对Q求一阶和二阶偏导可得：

对于Q来说，E[U(Πr)]是凹函数。令一阶导数为零，可得式(18)。定理6得证。

5.2 契约协调下制造商决策模型

契约协调下制造商的利润函数可表示为：

Πm=WmQ+Vm(vR-Q)+-Sp(Q-vR)++a(Q-vR)++b(vR-Q)++βG(x,Q)+γL(x,Q)-c(R-αL)+-d(αL-R)+-(Cm+Ws)R

(19)

契约协调下制造商的期望利润函数为：

E(πm)=WmQ+Vm[μ2R-S(R,Q)]-Sp[Q-S(R,Q)]+a[Q-S(R,Q)]+b[μ2R-S(R,Q)]+βG(x,Q)+γL(x,Q)-c[R-S(L,R)]-d[μ1L-S(L,R)]-(Cm+Ws)R=(Wm-Sp+a)Q+(Vmμ2+bμ2-c-Cm-Ws)R-(Vm-Sp+a+b)S(R,Q)+(c+d)S(L,R)+βG(x,Q)+γL(x,Q)-dμ1L

(20)

分别对R求一阶和二阶偏导可得：

5.3 契约协调下供应商决策模型

契约协调下供应商的利润函数可表示为：

Πs=WsR+Vs(αL-R)+-Cp(R-αL)++c(R-αL)++d(αL-R)+-a(Q-vR)+-b(vR-Q)+-CsL

(21)

契约协调下供应商的期望利润函数为：

E(πs)=WsR+Vs[μ1L-S(L,R)]-Cp[R-S(L,R)]+c[R-S(L,R)]+d[μ1L-S(L,R)]-a[Q-S(R,Q)]-b[μ2R-S(R,Q)]-CsL=(Ws-Cp+c-bμ2)R+(Vsμ1+dμ1-Cs)L-(Vs-Cp+c+d)S(L,R)+(a+b)S(R,Q)-aQ

(22)

分别对L求一阶和二阶偏导可得：

(23)

(24)

定理7满足下式的GL和风险共担组合契约可以实现供应链协调：

(25)

证明 当供应链各成员的期望利润函数是集中情况下供应链利润函数的仿射函数时，即契约协调下各成员的决策变量系数和集中情况下的决策变量系数成比例，供应链能够实现协调。可以得出以下条件：

(26)

6 数值与算例分析

假设供应商和制造商的随机产出服从均匀分布，市场需求服从正态分布。参数值为：P=17，g=5，cs=3，cm=2，cr=2.5，vs=2.8，vr=4，vm=4，μ3=1000，σ=200，μ1=0.8，μ2=0.8，Sp=8.5，Cp=4，Wm=8，Ws=4。契约参数如表1所示：

表1 契约参数

表2 不同情况下的期望利润

通过计算可以得出集中、分散和契约协调下的供应链利润(如表2所示)，从表2中可以看出，集中情况下的供应链总利润大于分散情况下的供应商、制造商和零售商的利润之和，契约协调后的供应链总利润和集中情况下的利润基本相同。算例证明了契约协调的有效性。

图2和图3表示风险规避程度对零售商的订购量和期望利润的影响。图2显示Δ>0时，零售商的订购量随着λ的增大而增大，这是由于零售商为了减少缺货成本增加订购量；图3显示Δ<0时，零售商的订购量随着λ的增大而减小，这是由于零售商为了减少过量成本减少订购量。两种情况下零售商的期望利润都随着λ的增大而减小，表明零售商的期望利润随着风险规避程度的增加而减小，且小于风险中性时的期望利润。

图4显示Δ>0时，零售商的最优订购量随着风险规避程度的增加而增加。图5显示Δ<0时，零售商的最优订购量随着风险规避程度的增加而减少。从图4和图5中可以看出：①随着风险规避程度的增加，零售商期望利润的下降趋势加快。②风险规避的期望利润小于风险中性的期望利润，存在最优的订购量使得零售商的利润最大化。

图2 Δ>0,λ 对零售商订购量和利润的影响

图3 Δ<0,λ 对零售商订购量和利润的影响

图4 Δ>0, Q和期望利润之间的关系

图5 Δ<0, Q和期望利润之间的关系

图6显示其他参数不变的情况下，分散和集中情况下的供应链成员的订购量随着σ值的增大而增大，即随着市场需求不确定性的增加而增加。图7显示分散和集中情况下供应链的总利润随着σ的增大而减小。

图6 市场需求不确定对供应链决策的影响

图7 市场需求不确定对期望利润的影响

图8显示分散情况下供应商和制造商的生产投入量随着μ2的增加而增加，集中情况下供应链各成员的订购量也随着μ2的增加而增加。图9显示分散和集中两种情况下制造商的利润和供应链的期望利润随着的增加而增加。

图8 制造商生产不确定对供应链决策的影响

图9 制造商生产不确定对期望利润的影响

图10显示分散情况下供应商的最优投入量和集中情况下供应链各成员的订购量随着μ1的增加而增加。图11显示分散和集中两种情况下供应链的期望利润随着μ1的增加而增加。

图10 供应商生产不确定对供应链决策的影响

图11 供应商生产不确定对期望利润的影响

7 结语

本文研究了零售商风险规避下三级产需不确定供应链协调问题。建立了分散、集中和契约协调下的最优决策模型。运用GL和风险共担组合契约对供应链进行协调，最终实现了帕累托改进。通过数值和算例分析，得出以下结论：①供应链的期望利润随着市场需求不确定性的增加而减少。②供应链的期望利润随着制造商和供应商随机产出因子的增加而增加。③零售商的期望利润随着风险规避程度的增加而减少。零售商订购量随着风险规避的增加而变化。其中Δ>0时，零售商的最优订购量随着风险规避程度的增加而增加；Δ<0时，零售商的最优订购量随着风险规避程度的增加而减小。

本文仅研究了产需不确定下单一零售商风险规避的供应链的协调问题。针对供应商和制造商均带有风险偏好的多风险多级供应链契约协调问题有待进一步研究。