以问促悟 助力建模

⦿史 军

模型思想在教学中该如何渗透。

先来看A老师的第一次试上。

课堂实录一 因数与倍数定义的建模

郭老师首先出示了自主探究活动一

用12个正方形拼成长方形，每排摆了几个，摆了几排？用乘法算式把各种摆法表示出来。

生1：我把12个正方形摆成一排组成一个长方形，算式是：1×12=12。

生2：我把12个正方形每排摆了6个，摆了2排，算式是：2×6=12。

生3：我把12个正方形每排摆了3个，摆了4排，算式是：3×4=12。

师：还有没有其他不同的摆法了？

生：(齐答)没有了。

师：(指着3×4=12这个算式)因为3×4=12，我们可以说3是12的因数，4也是12的因数；12是3的倍数，12也是4的倍数。合成一句话：3、4都是12的因数，12是3的倍数，也是4的倍数，听明白了吗？

生：(齐答)听明白了。

师：(指着另外两道算式)谁来说说这两道算式中谁是谁的因数，谁是谁的倍数？

生1：1是12的因数，12也是12的因数；12是1的倍数，12也是12的倍数。

生2：2是12的因数，6也是12的因数；12是2的倍数，12也是6的倍数。

学生一边说，老师一边板书。

师：那么这道算式12÷4=3呢？

生3：4是12的因数，3是12的因数；12是3的倍数，12也是4的倍数。

师：说得真好！

师：请同学们看这两道判断题：(1)3是因数，(2)12是倍数。

生4：对的！

生5：我不同意你的说法，我认为第一道题是错的，因为他没有说3是谁的因数。

(学生鼓掌)

生6：第二道题也是错的，没有说清楚12是谁的倍数。

师：同学们说得真棒！因数与倍数表示两个数之间的关系，是互相依存的，不能单独说一个数。明白吗?

生：(齐答)明白了。

……

A老师是一位刚刚工作满一年的新教师，从这一环节的课堂表现来看，他只是教会学生说请两个数的关系，并没有做到我们在课前研讨时所提出的由直观到抽象，帮助学生提炼、归纳因数与倍数的定义，渗透建模思想，建构因数与倍数的模型。

如何在因数与倍数定义这一环节的教学中向学生渗透“模型思想”、“符号化思想”，成为了本节课的教学重点，成为了一个突破口。学完这一环节后，学生脑海中能否建立因数与倍数的模型，建立一个什么样的模型？这是我们老师上课前一定要想清楚的。笔者认为帮助学生建立数学模型应从以下两个方面入手：

一、从具体情境出发，让学生感知模型

要想渗透模型思想，首先要创设具体的数学问题，让学生朦胧中初步感知模型。因为具体的情境有助于激发学生的好奇心和动手解决问题的欲望，且易调动学生已有的生活经验和旧知，让学生从具体的数学问题中感受隐含的数学思想，从而促使学生将具体问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在，这也是符合学生认知发展规律的。比如，A老师开始上课时让学生探究的：用12个正方形拼成长方形，每排摆了几个，摆了几排？用乘法算式把各种摆法表示出来。这一探究活动通过学生的动手操作获得了教学需要的三道算式，教师顺势告诉学生谁是谁的因数，谁是谁的倍数，帮助学生初步感知模型，让学生体会到谈到因数与倍数说的是两个数。当然学生对因数与倍数的认识，还达不到它们都是表示两个数之间的一种关系这一层次，但这也很好地完成了感知模型这一任务。

二、问题驱动探究，助力自主建构模型

相对于渗透“模型思想”来说，掌握教材中的知识不是学生学习的终点而应成为学生建模的起点。在完成学习任务后，教师应该提出问题促使学生的抽象思维能力的发展，让问题成为驱动学生思维的“源动力”，引导学生探究，自主建构模型。当然提出的问题要结合学生的学情，要有利于更多的学生参与，可以起点低一些，分层逐步推进。如郭老师的课堂实录中，学生已经能够借助具体的算式，说清谁是谁的因数和谁是谁的倍数，大部分的教师教到此处都会归纳、抽象出因数与倍数的概念，完成教学任务。此时如果提出以下问题：(1)、谁能说一道乘法或除法算式，说清因数与倍数？(2)、如果不说算式，你能说说什么是因数、倍数吗？(3)、有没有更简洁的表示方法？从建模的角度来看，这些有层次的问题有助于学生打开思维的枷锁，让学生在课堂上有话可说，在辨析中充分理解它们都是表示两个数之间的一种关系。通过学生的交流将学习中获得的直观感受和感性认识加以归纳，抽象出因数与倍数的概念，从而建模。在A老师的公开课上，老师在学生会结合算式说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数之后，依次提出这三个问题，学生是这样回答的：

(1)略；

(2)生1：一个数乘以另一个数所得的积是这两个数的倍数，这两个数是积的因数。

生2：乘数乘以乘数等于积，乘数是积的因数，积是乘数的倍数。

(3)生3：我是这样表示的□×△=○，□、△是○的因数，○是□和△的倍数。

生4：我觉得用图形表示同学们不一定能看懂，五年级上学期我们学习过用字母表示数，在这里也可以用字母的形式表示，我是这样写的：ab=c，a、b是c的因数，c是a、b的倍数。

从学生的回答中可以看出学生在思考中不断地抽象、归纳，尝试用符号来表示因数与倍数的定义。这是学生的思维由直观往抽象的发展，抽象思维的发展使得学生逐步触摸到数学的本质，而因数与倍数的模型也在不知不觉中在学生的心中建立。

对于模型思想的渗透，教师在具体实施过程中，除了将“模型思想”放在心中外，还应将学生置于具体的情境中，确立他们的主体地位，用直指数学本质的问题引导学生去思考，促使学生对具体问题进行抽象归纳、主动建模。