构造函数 曲径通幽

吴嘉琛

(河北省张家口市第一中学 075000)

函数与不等式有着密不可分的联系，在不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据问题建立函数模型，用函数思想分析，解决问题.解(证)不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点，正负值问题.所以，用函数与方程思想来处理这类问题，不仅会优化解题过程，而且会使我们迅速获得解题的途径.

一、参数的取值范围问题

在解决不等式恒成立问题时，一种重要的方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.现举例说明如下：

令f′(x)>0，可得1

令f′(x)<0，可得03.

所以函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，单调递减区间是(0，1)和(3，+∞).

对于函数g(x)=-x2+2bx-4,x∈[1，2]，

当b<1时，[g(x)]max=g(1)=2b-5；

当1≤b≤2时，[g(x)]max=g(b)=b2-4；

当b>2时，[g(x)]max=g(2)=4b-8.

综合所述，b的取值范围是(-,

二、证明不等式

在证明不等式时，当所证式子的结构非常复杂，用通常的比较法、配方法、分解因式等方法不能正常解决时，可以构造函数，通过求导，利用函数的单调性、极值等生成不等关系，证明不等式，使解答过程峰回路转.现举例说明如下.

(1)求a,b;

(2)证明：f(x)>1.

解析(1)略.