深入探究两类基本不等式问题的解题策略

陈后万

(浙江省洞头区第一中学 325700)

基本不等式问题灵活多变、方法多样，常用方法就有：凑、拆、代换、去和留积、去积留和、消元等.所以对于基本不等式问题，还是要经常总结、归纳题型，寻找规律，探索合适方法.

类型一：已知Axy+Bx+Cy+D=0 (A≠0)，求Ex+Fy或xy的最值问题

例1 (2016绍一中模拟)若正数x,y满足xy+x+2y=6，求x+y的最小值．

点评对于类型：已知Axy+Bx+Cy+D=0(A≠0)，求Ex+Fy的最值问题．一般用消元法可以解决，可谓是通法，但转化过程有时计算量稍大.解法二(待定系数法)是能够解决一类问题的，前提是条件能够转化成(x+a)(y+b)=c(a,b,c>0).它充分体现了基本不等式的优点，计算量小，方法绝妙，让人惊叹.

例3 (2012浙江卷)若正数x,y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )．

A. 245 B. 285 C. 5 D. 6

例4 若正数x,y满足2xy+x-y-1=0，则2x+y的最小值为 .

解法一(消元)略．

点评解法二中的换元法，技巧性比较强，目的是为了消去常数.这样，问题显然可以化归到例3类型问题处理.

总结：一般情况下，消元法、待定系数法、代换法可以解决类型一问题，具体应用还要看题目本身的系数特点.

例5 (2011浙江高考)设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 .

解∵4x2+y2+xy=1，∴(2x+y)2-3xy=1，

A．2 B．6 C．8 D．9

总结：基本不等式求函数最值(或值域)有着很多应用，极具简洁快捷功能.要熟练地求解基本不等式问题，主要靠平时善于总结、乐于总结，充分运用化归思想，抓住它的几条使用原则不放，构建基本不等式条件，高屋建瓴地使用基本不等式.