学非探其花 重在识其根——“核心问题”引领下的“确定位置”教学实践

□ 庄旦丹

“用数对确定位置”是人教版五年级上册第二单元的内容，笔者遗憾地发现，教学过程中就“数对”教“数对”的现象较为普遍，可以称为“只探其花”。却忽视了最为重要的两大问题，一是用数对确定位置之魂（上位思想），二是用数对确定位置之意（价值作用），可以称为“拔其根”。如何才能有效地突破这两个难点呢？本文试着从以下三方面对本课做一个系统的梳理与思考。

一、有效解析教材，了解知识的“逻辑之根”

（一）横向比较“拓视野”

表1“确定位置”各版本教材编排统计表

从表1中我们可以发现苏教版、北师大版在一、二年级的三个学期较为集中地设置了“位置和方向”的相关内容，三、四年级几乎忽略了这部分内容的学习。而人教版几乎在每个年级都安排了“位置和方向”，并把用“数对”和“方向、距离”确定位置这两个较难的知识点安排到了五、六年级。根据皮亚杰的实验表明，儿童只有到了11至12岁后的思维的形式运算中，方能建立真正规范的参照系，使他能真正比较距离和位置，所以人教版的知识编排较为合理。

（二）纵向延伸“注启承”

小学数学教师在做好小学阶段知识启承的同时，更要为“中”“小”知识衔接做好铺垫与渗透。所以我们在对教材进行分析时还应该加强纵向延伸，重视知识的启承转合。

图1 八年级上册“图形与坐标”结构框图

通过图1我们可以发现以下三点：①用数对表示位置，并在方格纸上用数对确定位置→用有序实数对表示平面上的点的位置。②能根据方向和距离确定物体的位置→用方向和距离表示平面上点的位置。③在方格纸上补全简单的轴对称图形及按水平、垂直方向平移→平面直角坐标系内的轴对称变化和平移运动。可见第二学段“图形与位置”的基础知识和基本技能是否学得扎实、有效，将直接影响下一阶段的学习。所以，笔者认为，“确定位置”的知识“逻辑之根”就是不同维度中数与点的一一对应关系。

二、悉心研读学生，把握学生的“认知之根”

除了对教材的深度分析，还需要充分了解学生的认知发展水平和已有的知识经验，并且对其进行客观的分析。为此，笔者对任教的2个班级学生进行了前测。

表2“用数对确定位置”前测第二题答题情况统计表

数据解读分析：从前测数据中可以看出，约30%的学生是利用前后、左右和上下描述实际情境中物体的位置，约60%的同学是利用“第几排第几个”来描述位置的，只有8%甚至更少的同学了解一点列与行的知识。

表3“用数对确定位置”前测第三题答题情况统计表

数据解读分析：从表3的数据中，我们发现在平面上用两个数确定一个点的位置，其实学生都会。只是更多的学生是依据原有的经验，先看行再看列而已，说明对于这个知识点，学生了解得不具体，概念不准确。

表4“用数对确定位置”前测第四题答题情况统计表

数据解读分析：从表4的数据中可以看出，受前测第三题的启发，学生知道可以用两个数字确定一个点的位置，但究其原因，大多数学生词不达意，不正确和空着的人数占前测人数的近一半，说明学生对于第四个问题还存在着困惑，对于用数对表示位置的必要性不理解。

通过对前测情况的分析，我们基本可以把握学生的“认知之根”：前期的知识基础（几和第几）与生活经验。笔者认为，在教学中可以用一一对应、数形结合等数学思想，抓住它们的共通点，利用类比迁移，整体布局。

三、深入反思教学，培育“核心问题”的“实施之根”

核心问题在课堂众多的问题中有着特殊的地位。通过它，学生能理解所学知识的要点，并促成其对知识的深刻理解。因此我们在教学中要培育学生的“核心问题”的“实施之根”，具体见图2。

图2 核心问题教学实施流程图

（一）抓住数对的数学本质，循序渐进

【教学片段一】核心概念动态呈现

1.谈话引入

核心问题1：这里有一排小朋友，你能说出小军的位置吗？

核心问题2：如果人再多一些，单用一个数字还能表示出小军的位置吗？

小结：观察角度不同，就有不同的表达方法。

2.联系实际，自主探索

（1）统一确定位置的方法——认识列、行，出示小军的自我介绍（见图3）。

图3

核心问题3：小军的自我介绍中，你读懂了什么信息？

重点强调行、列的概念以及确定的规则。

（2）用数对确定位置。

①了解点子图中确定小军位置的方法（见图4）。

图4

②30秒快速写位置引出数对（见图5）。

图5

询问有没有全部记下来的同学，把快速记录方法进行投影，并比较。

③介绍数对的含义和读写法。

核心问题4：什么是数对？怎样用数对表示出剩下的点？

④建立平面坐标图。

课件把点子图变成方格图（见图6）。

图6

核心问题5：方格图跟刚才的点子图比起来，你发现了什么？（见图6）

相同点：列都是从左往右数，行都是从前往后数。

不同点：有了0。

在本课例1的教学中，笔者通过四个层次的设计，让学生逐步感悟、掌握用数对表示位置的方法。第一层次，创设情境，让学生随意表示位置方法，感受在二维空间上确定位置存在的必要性；第二层次，依托原型，明确列、行的含义，以及确定第几列第几行的一般规则；第三层次，逐步抽象，过渡到用数对的方法确定点子图上交叉点的位置；第四层次，应用方格图，在形式不断抽象、方法不断简化的过程中初步感受坐标思想的本质。

（二）关注思想的逐层渗透，层层深入

【教学片段二】借助“数形结合”，深化数对规律

核心问题6：方格里的这些数对又有些什么特点呢？（见图7）

图7

问题串：

（1）观察数对（3,3），这两个3表示的意义一样吗？

（2）观察（1,5）和（5,1）这两个数对，数对中都有1和5，为什么它们表示的位置却不同？

（3）如果一个点的位置在（4,1）西边，你觉得会在哪里？这些数对有什么特点？

可以用一个数对表示出这一行上的任意一点吗？（x,1）

（4）如果F点的位置在（4,1）和（4,3）的中间，用数对怎么表示？观察这3个位置，有什么特点？第4列上的任意一点该怎么表示？（4，y）

（5）能不能用一个数对表示出方格图上任意一点？板书：（x,y）

用（x，y）表示任意一点，你觉得可以吗？

（6）了解数对在生活中的应用（见图8）。

图8

在例2的教学中，笔者通过四个层次予以不断深化，渗透坐标系中原点和方向的意识。第一层次，在教学中多处渗透先列后行的意识，如从左往右，从前往后出示箭头，这其实就是指明了关键要素之一“方向”。第二层次，笔者明确地点出关键要素之二“原点”（0,0）的重要性，因为对于确定位置而言，原点即参照点恰恰是第一位的。第三层次，让学生对同一张方格图展开研究，利用写出不同的数对进行比较、辨析，深度感知“任意两个有序的数都可以表示平面上的任意一点”。第四层次，从用数对表示位置的方法回归生活实际，了解一维的围棋、二维的国际象棋以及三维的地球经纬线。所以本节课教师对于模型思想的构建绝不是固化的，而是一个具有生长性的生态过程。

（三）整合有效的教学资源，步步为营

【教学片段三】借助类比，迁移知识

师：队列中有4个小朋友A（3,4）、B（5,4）、C（1,2）、D（6,2），如果把他们依次连接，请你在脑海里想象一下，会形成一个什么图形？（见图9）

图9

核心问题7：请移动1个点，使它变成平行四边形。

A怎么移？B为什么这么移？（利用平行四边形对边相等的特性）

核心问题8：一个点的移动，它的行、列产生了怎样的变化？（行不变都是4，列发生了变化）

核心问题9：如果把这个梯形向上平移4格，不画，你能说出数对吗？有什么特点？（列数不变，行数加4）

小结：向右平移列变行不变，向上平移行变列不变。

这里的图形变形练习部分，从梯形变形为平行四边形，再到平移梯形，每层练习环环相扣，一脉相承，在逐步升级的练习过程中，学生通过想一想、数一数或者算一算的方法，找到了平移后顶点的位置，并准确地用数对表示，学生的研究思维也在逐步升级，使得整个探究过程变成了学生主动建构的快乐的学习过程。

关注数学本质，给学生一个有“根”的数学，以“核心问题”的方式让数学思想、方法、精神根植于学生的数学学习，使得学生有机会通过自己的发现获得新的数学知识、技能、方法及思想，从而发展成为一个“具有数学思想和精神”的人。