随机人群行走下人行桥动力特性参数及加速度响应

操礼林 曹 栋 张志强 李爱群, 3

(1江苏大学土木工程与力学学院, 镇江 212013 )(2东南大学土木工程学院, 南京 210096 )(3北京建筑大学土木与交通工程学院, 北京 100044 )

人致荷载下结构的振动响应是结构舒适度问题研究的重要内容.受人体刚度和阻尼作用,当结构上有行人留驻或者运动时,结构的阻尼比和步频会发生变化.因此,人致振动问题需考虑人-结构竖向相互作用的影响[1-3].目前,国内学者主要开展了单人行走下的人-结构竖向相互作用研究工作.张琼等[1]考虑人-桥竖向动力相互作用,研究了单人行走时结构阻尼比和频率的变化,结果表明考虑相互作用时结构阻尼比提高幅度较大,频率降低幅度较小.高世桥等[2]研究了单人站立于木质横梁跨中前后结构动力特性的变化情况,发现木梁结构的固有频率下降而阻尼增加.

为准确预测大跨结构在行人荷载作用下的振动响应,需要考虑行走人群的随机性问题,即考虑行人个体间差异性和个体内随机性.此外,环境、行人听觉等方面也对行人行走产生重要影响[4-5].Venuti等[6]提出了一种考虑人群随机性的方法,建议人-桥竖向相互作用不仅要考虑行人对结构动力参数的影响,还需研究行人行走时人群之间的排斥作用.Kasperski[7]假定行人行走的初始速度为不受干扰的自由速度,对人群密度变化下步频与步行速度的关系进行了研究.行人流量对速度产生影响,行人流量大时行人之间可能寸步难行,步频同步率较高,行人流量稀疏时行人之间可能不会出现拥挤现象.因此，对于行人随机性问题,应考虑人群密度与步速之间的关系.

本文基于行人个体内随机性和个体间差异性,提出了一种基于步长的随机人群行走构建方法.考虑人流密度对行人步速的影响,采用行人入桥时间的差异来控制人群拥挤程度,研究随机人群行走下人行桥动力参数的变化及其振动加速度响应规律.

1 考虑人-结构相互作用的随机人群

1.1 确定性单人步行荷载

精准人致荷载模型的构建是一项复杂工作,因为行人运动过程是时间与空间并行的多尺度问题.现阶段测量行人的步行力多基于刚性地面或者采用测力鞋垫等方法[8-10].步行力的影响因素包括行人体重、步频、步速、步长以及行人行走的初始相位角.考虑人-结构竖向相互作用,还需确定人体刚度和人体阻尼等因素,这使得行人运动产生的动力荷载较难模拟.如考虑行人之间的相互作用,人群加载建模将会更加复杂.单人连续行走确定性荷载F(t)由静力分量行人体重G和动力分量Fp(t)组成,动力分量采用傅里叶级数表示为几阶简谐荷载之和,即

F(t)=G+Fp(t)

(1)

(2)

式中,αi为第i阶动载因子；fp为行人步频；φi为第i阶相位角.

Figueiredo等[11]研究发现,当行人激励频率与结构基频一致时,只有一阶共振谐波荷载对人行桥的模态振幅产生影响.动力分量Fp(t)可表示为

Fp(t)=Gα1cos(2πifpt)

(3)

不同行走步速下行人的步频仍服从正态分布.动载因子与步长的关系中,步长离散性较大；相对于步频变化,动载因子与步速的相关性更为密切.Archbold等[8]发现步速对动载因子的影响相较于步频更显著,因此将动载因子转换为与行人步速相关的公式，即

(4)

(5)

式中,αv为动载因子；vp为行人步速.

1.2 基于步长的随机人群行走构建方法

对于人行荷载引起的结构振动问题,当人群行走在结构上,考虑个体内随机性、个体间差异性[12],需要分析行人体重、步长、步速、步频以及行人入桥、出桥的时间等变量,数据繁多且冗杂,基于时间段的数值模拟方法难以满足考虑人-结构竖向相互作用的人致振动分析需求.因此,针对人群行走的生物特性,将行人行走等效为步行段的叠加,既符合人群行走特征,又能实现变步频、变步长和变步速的人群行走加载模拟分析.人群行走示意图见图1.图中，L为人行桥跨度；y(x,t)为t时刻行人在桥上位置x时人行桥的挠度.基于步长的简化加载方法示意图见图2.图中,mpj，cpj，kpj分别为行人j的质量、阻尼和刚度；vpj和ypj分别为行人j的步速与竖向位移；Fpj(t)为行人j在t时刻产生的步行力；ln为行人第n步的步长.

图1 人群行走示意图

图2 基于步长的简化加载方法示意图

(6)

人行步速和行走频率之间存在一定的统计关系.Bertram等[13]、Venuti等[14]、李红利等[15]分别基于固定跑步机和摄像机开展了步行参数测试,拟合得到的步频与步速关系曲线见图3.

图3 行走速度与频率关系曲线

根据Venuti等[14]统计的步频与步速关系可知，行人j第k步的步速及步长为

(7)

(8)

对于一定跨度的工程结构,先确定行人每步的步长,再叠加步长来模拟人群行人行走.根据步速与时间的相关关系,行人j走完全程所用时间为

(9)

式中，Mj为行人j走完全程的步数.

将行人j每步所用时间逐级求和,可得前k步所用时间，与时间t进行比较便可得行人j在t时刻所处的位置xj.具体的位置判断函数式为

(10)

文献[16]指出，行人到达事件为泊松过程,若桥上有N位行人,则N个到达事件的时间是N个相互独立且同分布的随机变量.为模拟人群分布的拥挤程度,假定行人的初始入桥时间间隔为ts,其计算公式为

(11)

(12)

式中,T为第1位行人走完全程所用时间；Tall为N人走过结构所用总时间.

2 人群-结构动力耦合方程

2.1 考虑人-桥竖向相互作用的动力方程

为进一步获取人行荷载下结构的振动响应,需要对行人流进行合理的仿真分析.当仅考虑单人步行荷载时,一般选取行人步频与结构基频一致,从而得到结构的最大加速度响应.但是,不同行人每一步的步频和步速均不一致,且行人之间也存在差异.因此，本文通过考虑或不考虑人体内随机性及人体间差异性,建立合理的人群行走模型，并推导耦合运动方程,分析其对结构动力特性参数及竖向加速度响应的影响.

假定人行桥弹性模量为E,惯性矩为I,人行桥单位长度的质量为m.梁挠度y(x,t)从静力平衡位置算起,行人j的位移函数为yj(xj,t).行人与人行桥保持接触且梁上的外部激励仅由行人行走引起,人行桥弯曲振动方程为

(13)

式中,qn(t)为第n阶广义坐标；ξn=c/(2mωn)为第n阶阻尼比,其中ωn为第n阶圆频率；Qn(t)为第n阶广义模态力.

将模态函数φn(x)正则化，即

则有

(14)

式中,f(t)为人行桥所受外荷载.

行人桥上行走时,受到阻尼力、惯性力和弹性力作用,采用质量-刚度-阻尼分析模型进行分析.质量-刚度-阻尼分析模型见图4.基于结构动力学原理可得人体动力平衡方程式为

(15)

图4 质量-弹簧-阻尼分析模型

采用振型分解法可将式(15)转化为

(16)

行人动力平衡方程可以用上式描述,对于人行桥动力平衡方程,应先确定人行桥受到的荷载，即

(17)

式中,Fj(t)为行人确定性荷载.

联立式(15)和(17)可得

(18)

Fj(t)φn(xj)

(19)

联立式(16)和 (19),建立考虑人-结构竖向相互作用的结构人致振动方程为

(20)

式中

q={q1,q2,…,qn,qp1,qp2,…,qpr}

式中,F为广义模态力;q为广义模态位移.

针对上述非比例阻尼时变微分方程,采用状态空间法求解时变系统的模态特性,并采用变步长四阶五级Runge-Kutta-Felhberg算法求解其动力响应.

2.2 人致振动分析流程

基于上述方法进行人致振动响应分析，计算结构加速度响应.具体步骤如下：

① 结构基本参数设置.确定人行桥的长度、宽度和抗弯刚度.人行桥采用简支梁模型模拟.

③ 初始化设置.当t=0时,设置桥面人数为0.令时间增量为Δt.

④ 人群更新.人群间隔时间设置为ts,根据Tt判断t时刻是否有行人出桥以及桥上不同行人所在的空间位置.

⑤ 动力方程求解.按照t=t+Δt更新分析结果,计算人行桥结构频率fs和结构阻尼比ξs,求解结构竖向加速度响应,直至最后一位行人出桥.

3 人行荷载对结构动力参数的影响

人群行走受到人群密度的影响.文献[9]中实测统计分析的不同人群密度下行人步频均值和标准差结果表明,人群密度小于0.5人/m2时,行人步频不受相互影响.图5为行人行走步频均值与人群密度的关系曲线.由图可知,随着人群密度的提高,行走步频逐渐减小.人体质量服从正态分布[9],人体等效阻尼比为0.2～0.4[16],人体刚度为9.4～36 kN/m,因此,人体阻尼的变化范围为584～647 N·s/m.

图5 不同人流密度下的步频均值

3.1 不考虑随机性时的影响

行人行走或者留驻均会对结构动力特性产生影响,因此研究人致结构振动应考虑人与结构的竖向相互作用.基于工程实例,研究考虑人体间差异性与人体内随机性对结构动力特性参数的影响.令人行桥跨度L=50 m,单位桥梁长度质量m=500 kg,模态阻尼比ξs=0.5%,空载桥梁基频f1=2 Hz[17].当模拟人群不考虑个体间差异性和个体内随机性时,人体质量取均值64.6 kg,人体刚度和阻尼分别取变化范围内的均值22.7 kN/m和616 N·s/m.为研究人群行走对人行桥动力特性参数的影响,选取60人进行计算分析.不同行人步频下结构动力特性参数变化曲线见图6.由图可知,在不考虑随机性的人群行走激励下,人行桥一阶瞬时阻尼比明显提高,一阶瞬时频率大幅降低.当行走步频从1.6 Hz升高到2.2 Hz时,一阶瞬时阻尼比增大的幅度降低,最大阻尼比为1.882 5%,对应行走步频为1.6 Hz,最小阻尼比为1.636 4 %,对应行走步频为2.2 Hz;一阶瞬时频率的变化呈现出行走步频越小,结构频率变化越大的趋势.

为进一步研究人行荷载中时间间隔ts对结构动力特性参数的影响,将ts取为人群密度下的最大时间间隔,行人行走步频取为相应人群密度下的步频统计均值.计算得到行人入桥时间变化对结构动力特性参数的影响曲线见图7.由图可知，随着ts的减小(即行人逐渐靠近),阻尼比增大，基频减小,最大阻尼比达到1.957 5%,最小频率为1.625 9 Hz.

(a) 结构一阶瞬时阻尼比

(b) 结构一阶瞬时频率

图7 行人入桥时间变化对结构动力特性参数的影响曲线

3.2 考虑随机性时的影响

令N=60,开展100次人致结构振动响应数值模拟.随机人群行走下结构动力特性参数变化曲线见图8.由图可知，行走对结构阻尼比和频率影响较明显.鉴于行人阻尼比、步频、步速及步长变化,各次分析结果存在一定差异性,但总体变化趋势一致.

人群行走下结构阻尼比受行人步频、人体阻尼比、行人所在空间位置的结构振型等因素影响.图9为不同人流密度下结构瞬时阻尼比变化曲线.由图可知，不考虑人群随机性的情况下,人流密度达到0.6人/m2时,阻尼比变化趋于平稳,最大值为1.93%.图9同时给出了结构在不同人流密度随机人群行走下阻尼比变化的均值.相比于不考虑人群随机性的情况,考虑人群随机性时结构阻尼比变化更为明显,最大值达到3.40%.

(a) 结构一阶瞬时阻尼比

(b) 结构一阶瞬时频率

图9 不同人流密度下结构瞬时阻尼比变化曲线

图10为不同人流密度下结构一阶频率变化曲线.考虑人群随机性时,变化曲线上的值取样本均值.由图可知,当人流密度小于0.5人/m2时,2种情况下的结果差异较小；当人流密度大于 0.5人/m2时,考虑人群随机性时的结构瞬时频率明显更小.当人流密度为1人/m2时,考虑及不考虑人群随机性时的结构瞬时频率分别为1.54和1.71 Hz.总体而言,2种情况下变化趋势基本一致,这是因为人行荷载下结构频率变化主要受行人与结构质量比的影响.图11为随机人群下行人入桥时间变化对动力参数影响曲线.由图可知,随着行人入桥时间间隔的减小,结构瞬时阻尼比先减小再增大,瞬时频率先增大后减小.

图10 不同人流密度下结构瞬时频率变化曲线

图11 随机人群下行人入桥时间变化对动力参数影响曲线

4 结构加速度响应分析

评估结构在人行荷载作用下是否产生过度振动,需先对其加速度响应进行分析.假定行人流密度从0.1人/m2的稀疏情况变化到1人/m2的密集情况,考虑行人个体间差异性和个体内随机性,按照2.2节的步骤进行分析.选取的桥梁特征参数与3.1节分析的工程实例一致[17].桥梁跨中位置为振型的峰值点,因此选取人行桥的跨中进行竖向加速度响应分析.图12为不同人流密度下人行桥跨中竖向加速度响应时程曲线.为获取更精确的加速度响应计算结果,根据1.2节中基于步长的随机人群行走构建方法,对不同人流密度下的随机人群工况进行模拟分析,得到不同人流密度下人行桥竖向最大加速度的峰值、1 s均方根值、人群步速、步频众数域结果(见表1).由表可知,当人流密度从0.1人/m2增加到1人/m2时,行人步频众数域逐渐减小,步速降低,这主要是因为随着行人密度的增加,行人之间拥挤度增加,行走更易受到周围行人影响.考虑人群随机性时,人群之间的步行参数离散性较大,随着行人密度的提高,人行桥结构竖向峰值加速度和均方根值加速度均出现先增大后减小的趋势,且当人流密度为0.5人/m2时人行桥竖向加速度响应最大.

表1 不同人流密度下人行桥竖向加速度响应

(a) 0.2人/m2

(b) 0.4人/m2

(c) 0.8人/m2

5 结论

1) 基于步长的随机人群行走构建方法较好地考虑了随机性人群中个体间差异性和个体内随机性,能较准确计算结构加速度响应.

2) 考虑人-结构竖向相互作用,随机人群行走下人行桥的瞬时阻尼比随行人流密度的提高而显著增大,瞬时频率大幅降低.相比于不考虑人群随机性的情况,考虑人群随机性时人群行走对人行桥结构动力特性参数的影响更大.

3) 在人行桥上行人数量一定的情况下,行人之间的拥挤程度会显著影响结构动力特性参数.不考虑人群随机性时,随着行人拥挤度的增加,人行桥瞬时阻尼比增大,瞬时频率减小.考虑人群随机性时,随着行人拥挤度的提高,人行桥瞬时阻尼比先减小后增大,瞬时频率先增大后减小.

4) 考虑人群随机性时,随着行人流密度的增加人行桥竖向峰值加速度和均方根值加速度响应均先增大后减小.人流密度为0.5人/m2时人行桥竖向加速度响应最大.