数学教材的深度解读之谈整数的巧妙应用

郝金凤

摘要：主要介绍了整数的重要性以及整数及其性质的研究发展史，列举出其在例题中的巧妙应用；常见整数在解题中的妙用，最后关于“凑十法”在小学教学中的运用作了相应介绍。

关键词：整数；应用；凑十法

1.绪论

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，自然数被叫做正整数，把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0，它们和起来叫做整数。

1.1 整数及其性质的研究发展史

自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视.中国最早的数学名著《国髀算经》记载了西周人商高知道方程

有整数解 .另一部数学名著《孙子处经》研究了整数的同余性质，后来被世人称作“中国剩余定理”。

到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统学科的条件已经基本成熟。

在现代小学教学中，利用整数十的性质，研究出“凑十法”，这也大大方便了教师和学生关于进位加法的运算。

1.2认识整数

小学阶段的整数都包括哪些数呢？整数包括正整数、负整数。像1，2，3，4，5.....这样的数都是正整数；而在这些正整数前面加上负号的数是负整数，像-1，-2，-3，-4......这样的数字都是负整数。除了正整数与负整数，整数还包括什么？对，0。千万不能忘记0。

2整数的妙用

2.1“进一法”与“去尾法”的应用

“進一法”：在我们生活中遇到类似剩下的不足1份又不能舍去的情况时，我们不论要保留的数位后一位上的输是否满5，都往前一位进一，这就是“进一法”。

“去尾法”：在我们生活中遇到类似剩下的不足1份，无论保留数位后一位数是否满5，都去掉，这就是“去尾法”。

比较两种不同的取值方法：

相同点：两道题目并没有要求商取近似值，都是根据实际情况自觉地取商的近似值，并都是整数，我们计算时只要除到十分位就可以了。

不同点：不管保留位数后一位是否满“5”，“去尾法”则把保留位数后一位舍去。

“进一法”在商的个位加1。

例1小强的妈妈要将2.5千克香油分别装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶可以装0.4千克，需要准备几个瓶子？

解析：假设都装0.4千克，根据“总重量除以每箱香油的重量等于需要瓶子的个数”计算出需要瓶子的个数，然后联系实际，不够一瓶的油也要一个瓶子去装解答即可。

答案：解：2.5÷0.4=6（个）…….0.1（千克）

至少：6+1=7（个）

答：需要准备7个瓶子。

3 “凑十法”在小学教学中的应用

3.1 关于“凑十法”的介绍和引入

在小学中，教学“凑十法”，其目的不仅是让学生得出算式的得数，更重要的是在计算过程中渗透分解与组合，转化与变换的思想.经历从“数”到“算”的过程，进一步认识并区分“数”和“算”的不同意义，锻炼思维，促进“数字性事实”的丰富和算法的熟练化。

下面举几个“凑十法”的引入例子：

（1）算9+4，就比如9个苹果，先从4个苹果中拿出1个给9，就是10，4个拿走一个剩下3个，所以10个再加剩下的3个，就是13个.

（2）为了数数方便，把10根铅笔捆成一捆，这小小的1捆就将学生的认知由10个“一”引向1个“十”.即“凑十”思想.学生只要看到一捆和几根就能从数的意义上很快确定物体的数量。

（3）9+3=？可以引导学生左边摆9根小棒，右边摆3根，从右边拿出1根给左边，凑成10根，捆成一捆，右边剩下2根，一捆和2根合起来就是12。

（4）7+4=？首先要领会7与4之间的关系，用凑十来分析，其一是7与几相加等于10，其二是4可以分解成几加几.即7+3=10，4可以分成3+1，则10+1=11。

列式：

3.2 “凑十法”的运用

具体方法： 先让学生摆小棒，进行实物操作，教师启发学生先用10去减减数，得到的差再加上余下的几根，就是最后的得数，然后教师在黑板上画实物图，演示用凑十法转换的原理和推导过程，在黑板上写出计算过程，最后师生共同总结计算方法：

看减数，想凑数，凑数加被减数的个位就是差。

编成20以内退位减法快乐儿歌就是：看9想1，看1想9，看8想2，看2想8，看7想3，看3想7，看6想4，看4想6，看5想5笑哈哈，凑数加个位就是差。

板书计算过程：

结束语：

本文主要讨论了取整数在解题中的一些妙用，使我们可以很轻松解出题目，同时还能享受到解题的乐趣，在日常生活中比如求星期几时就会用到同余，因此本文还介绍了同余在算术中的应用，最后借助整数十的性质谈到了“凑十法”在小学教学中的运用。关于整数的许多有趣的妙用之处还有很多，有待广大读者朋友们去探讨，本文就先介绍到这。

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁等编.数学分析讲义（第四版）上册[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].南京：北京高等教育出版社，2004.