解后反思，向解题要效率

翁升枚（福建省莆田第六中学，福建 莆田）

为研究高中生解后反思的实际情况，笔者调查了本地两所一级达标学校、一所非达标校高中学生的解后反思习惯，得到如下数据：有12%的学生会预习新课；28.2%的学生课后会主动地反思总结；23.4%的学生会对错题进行反思；29.8%的学生能主动做数学纠错本……调查结果表明学生解后反思的比例较低，解题思维大多在低层次上徘徊，学生较少参与到数学的思维活动过程中，没有机会根据自己的认知冲突引发思考，长此以往很难发展学生的数学能力.本文拟从研究所得，结合笔者的教学实践谈谈如何在解后反思中提高解题效率．

一、思“知识”

一个经过冥思苦想的问题得到解决后，笔者注意培养学生反思的习惯，引导学生通过反思去体验“发现”数学概念、定理、公式以及涉及的数学思想方法的过程．这看似浪费了时间，但可以有效地帮助学生理顺知识网络体系，一方面可以促使学生建立知识的纵横联系，使其知识系统化；另一方面可以培养学生反思意识，积累反思经验，提高数学学习的效率．

案例1（2016年高考课标卷Ⅰ·理20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

反思1：本题涉及哪些知识点——圆、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线的轨迹方程、弦长问题、取值范围等；

反思2：本题应用了哪些公式、定理——直线与圆锥曲线弦长、韦达定理等；

反思3：求曲线的轨迹方程常用的方法——直接法、定义法、相关点法、参数法；

反思4：与曲线有关的几何性质——平行、垂直关系、圆的几何性质、对称性或求对称曲线等；

反思5：直线方程的常见形式——设过点B（1，0）的直线l的方程为 y=k（x-1）或 x=my+1；

反思6：求直线与圆锥曲线的相交弦的弦长和求直线与圆的相交弦的弦长的方法一样吗？

反思7：求参数的取值范围问题的常用方法——不等式法、函数最值法；

反思8：解题中用到了哪些数学思想方法——数形结合、分类讨论．

数学教育家波利亚说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一个重要而有效益的方面．”学生解题完成后，对整个解题活动进行深层次的思考，能清晰、全面、严谨地理解概念、公式、定理，进而达到融会贯通．通过反思，也能促使学生在数学学习过程中产生解决问题的愉悦感，增强克服困难的信心和毅力．

二、思“多解”

有些学生虽然掌握了一定的数学知识、方法，也学习了一些范例，但在独立解题时，仍感觉困难重重，笔者从如何抓住解题要点、寻找破题的切入点着手，除了重视对题目考查的知识、数学思想方法进行归纳、总结外，还注重以“一题多解”为抓手对解题技巧等进行反思．

案例2 如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3都是边长为2的正三角形，顶点 A，C1，C2，C3共线，点 P 在 B3C3上，则_____．

笔者引导学生对“向量的数量积”进行归纳反思：解题的切入点是什么？求向量的数量积常用的方法有哪些？

反思2：基向量是解决向量数量积以及向量应用的常用手段，基底的选择除了不共线外，还要注意尽量选择长度和夹角已知的两向量作为基向量．注意到B3C3⊥AD，所以

反思3：坐标化是简化向量计算的有效手段．以A点为原点，AC3为x轴正方向建立平面直角坐标系，则C3（6，0），直线B3C3的方程为，可设据此得

亦可特殊化（或极端化），即考虑点P位于点C3的特殊情况进而求解．

数学知识纵横交错、有机联系，解题思路灵活多变，解题方法途径多样，但条条大路通罗马．即使一次合理正确的解题，也未必能保证就是这一类题的最佳思路、最简捷的方法．在问题的解决过程中，笔者关注学生反思意识的养成，在不断质疑、不断改进、拓展延伸的过程中提升学生的思辨能力．

三、思“变式”

笔者通过引导学生反思与问题相关的知识之间的联系和转化的过程、矛盾产生和解决的过程，以及对比同类或不同类问题之间的相同点和不同点等，体会发现问题和提出问题的基本方法与技巧，帮助学生系统地联系、对比知识与方法，获得一定的学习体验，增强了学生的数学思维能力，形成一个促进数学思维发展的良性循环．

案例3已知函数f（x）=|x|，若函数g（x）=f（x）-kx-2k有两个零点，则实数k的取值范围是______．

笔者引导学生尝试从条件中函数的类型、问题的呈现形式等出发，对题设条件、结论、设问方式等进行变式，把一个具体的看似孤立的问题，从不同的背景、不同的角度向外拓展延伸，有意识地引导学生从“变”的知识中去挖掘“不变”的本质，在“不变”中探求解题规律，并形成方法，帮助学生在问题解决的过程中寻找解决一类问题的思路与方法，达到举一反三，通过有意识地反思，调动学生学习的积极性．

变式2已知f（x）是定义在区间［-2，2］上的偶函数，当0≤x≤2时，f（x）=x2-2x+1，若在区间［-2，2］上，函数g（x）=f（x）-kx-2k有四个零点，则实数k的取值范围是______．

变式3已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x＞0时，f（x）则函数g（x）=xf（x）-1在［-6，+∞）上所有零点之和为______．

变式反思需找准知识的生长点，在问题的“横向”与“纵向”的发展与联系的探究过程中，深层次地认识问题的实质，领悟数学方法的本质，从中体验灵活运用数学知识与数学技能解决问题的乐趣，从而促进智力和能力的提高，使高效课堂落在实处．

四、思“错误”

学好数学、理解好数学就是要重视数学知识的发生与发展的过程，这就要求我们能正确地对待数学学习过程中出现的错误，在经历对错误的反思中，加深对数学知识的理解，进而提高认识．笔者在教学过程中，注意合理利用学生解题过程中的“错误”资源，展开有效的讨论，造成观念冲突，促进学生反思，批判性地认识自己的思维误区，从中吸收正确的思想，摈弃错误的想法．

案例4（2017年福建省普通高中毕业班质量检查·理6）某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为（ ）

反思1：忽视了古典概率中基本事件的“等可能”导致错误．设事件M＝｛集齐3种卡片｝．一种“福”字卡片等可能放入4袋食品中的一袋有4种方法，3种“福”字卡片各等可能地放入其中的一袋，共有43种，这是基本事件总数．从4个袋子中任取3个袋子有顺序放入3种“福”字卡片，有种方法，再任取一种“福”字卡片放入最后一个袋子．故

实际上，由于每袋食品随机装入一张卡片，即等可能地放入3种“福”字卡片，所以一共有34种，这是基本事件总数．

反思2：忽视了计数过程中的“序”导致错误．一种“福”字卡片等可能放入4袋食品中的一袋有4种方法，3种“福”字卡片各等可能地放入其中的一袋，共有43种，这是基本事件总数．从4个袋子中任取3个袋子对应放入3种“福”字卡片，有种方法，再把重复的“福”字卡片放入最后一个袋子，有3种，故

实际上，在事件总数的计算中，已经考虑了“福”字卡片的“序”，因此，从4个袋子中任取3个袋子对应放入3种“福”字卡片，应有种方法.

反思3：计数过程中的“重复”与“遗漏”导致错误．设事件M＝｛集齐3种卡片｝．为了计算事件M包含的事件数，现分两步来实现：第一步：从4个袋子中任取3个袋子随机地有顺序地放入3种“福”字卡片，有种方法；第二步：在第4个袋子中随机放入一张“福”，有 3 种方法．得

实际上，集齐3种卡片，表示4个袋子中有且只有2个袋子中放入同一种“福”，因此可以任取2个袋子“捆绑”起来，看作一个袋子，3种卡片不重复地放入这3个袋子中，有C24A33种，故P

建构主义认为，数学的知识不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以巩固，必须有一个自我否定、自我纠错的过程．因此，反思错误，可以激发学生的学习欲望，促使学生对已完成的思维进行精加工并进行批判性的深入思考，给学生提供反思、质疑、对比、再反思的机会，让学生经历再探索、再研究的过程，从而真正把错误作为课堂的资源，并在这个过程中发展学生的情感、态度、价值观．

北京师范大学曹才翰教授及其学生章建跃也非常重视并倡导培养学生对学习过程的反思习惯，他们认为“培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法.”教师要善于引导学生在平时的解题过程中养成解后反思的习惯，既可促其牢固掌握“双基”，促进知识的有效迁移、回顾和深化对问题的理解，又可提高解题效率和正确率，有效促进学生思维能力的发展．