具有结构阻尼和无限时滞的梁振动方程mild 解的存在性

李 爱

(兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070)

在生活中存在许多的弯曲现象,例如当桥式起重机吊起重物时,大梁将变弯；当飞机飞行时，机翼在气动力、螺旋桨重力和螺旋桨力偶作用下也会变弯；当杆件受到垂直于杆轴的外力,或在杆轴平面内受到外力偶作用时,杆的轴线将产生弯曲形变。凡是以弯曲形变为主要变形的杆件通称为梁，梁是工程构件和机械设备中最常见的构件。张淑芬等[1]、张耀等[2]对梁方程进行了详细推导。近年来带有阻尼的Euler-Bernoulli 梁方程作为空间飞行器的数学模型受到人们的重视，其特点是弹性算子和阻尼算子所满足的边界条件是非局部的和相互耦合的。Thankane等[3]利用有限微分法研究了具有自由端的梁振动方程。Lou[4]对Korman 关于弹性梁模型的猜想给出了否定回答，并通过修改条件得到了若干理想的结果。Gupta[5-7]研究了一类梁振动方程解的存在唯一性。然而，具有结构阻尼的梁振动方程的研究以及半群性质的讨论大部分都在Hilbert 空间中进行。

关于具有结构阻尼的弹性系统在Banach 空间中研究的主要有,FAN Hong-xia等[8]研究了相应于结构阻尼的线性弹性系统的解析性和指数稳定性，利用解析算子半群理论，在Banach 空间下讨论了该方程的正则性及光滑古典解的存在性；FAN Hong-xia等[9]、高飞等[10]分别利用单调迭代技巧和凸幂凝聚算子不动点定理获得了非线性阻尼弹性系统mild 解及正mild 解的存在性；FAN Hong-xia等[11]在全局Lipschitz 条件下还研究了阻尼弹性系统的渐近稳定性。

到目前为止,都是在Banach 空间的基本前提下研究非线性项只含有两项的梁振动方程解的存在唯一性、渐近稳定性。文献[12-14]对带有时滞的微分方程的初值问题进行了研究，并得到了各种类型的存在性结果。因为具有时滞的微分方程通常体现的是实际问题的数学模型，所以依赖于过去时间状态的具有结构阻尼和无限时滞的梁振动方程解的性质研究就显得极为重要，并且对完善整个时滞方程的理论将起到一定的积极作用。

本文将主要研究Banach空间中一类具有结构阻尼和无限时滞的梁振动方程：

(1)

mild解的存在性。其中ρ≥2为阻尼系数；A:D(A)⊂X→X为Banach空间中的稠定闭线性算子，-A是Banach空间X中C0-半群T(t)(t≥0)的无穷小生成元；f:[0,+∞)×B→X为非线性映射；B为相空间；φ(0)∈D(A),φ∈B,y0∈X,ut∈B,并且满足u(t):(-∞,0]→X,ut(s)=u(t+s)。

1 预备知识

由文献[15]，容易得到初值问题式(1) mild解的定义。

定义1 积分方程

(2)

的连续解u(t)称为式(1)对应φ在[0,+∞)上的mild解,其中S1(t)、S2(t)分别是由-σ1A和-σ2A生成的C0-半群。满足

σ1+σ2=ρ,σ1σ2=1,S1(t)=T(σ1t),S2(t)=T(σ2t),t≥0。

由此容易看出，当T(t)为X中的紧C0-半群时，S1(t)和S2(t)也为X中的紧C0-半群。

定义2 相空间B是由(-∞,0]到(x,‖·‖)的X值函数构成的集合，它按半范数‖·‖B构成一个Banach空间，并满足以下公理:

(1) 设σ0>σ,u(t)是(-∞,σ0]上的X值函数，并在[σ,σ0]上连续。若uσ∈B,则∀t∈[σ,σ0],∃ut∈B且t∈[σ,σ0]→ut在B中连续；

(2) ‖u(0)‖≤K‖u(·)‖B,∀u(·)∈B,K为正常数；

(3) 存在[0,+∞)上的正值函数K(t)和局部有界的正值函数M(t),使得对任一满足(1)的u，均有

引理1[16]设T(t)是C0-半群，则存在常数ω≥0和M≥1,使得 ‖T(t)‖≤Meωt对t∈R+成立。

引理2[17]设F是由完备的距离空间X到X的映射，如果存在常数α(0≤α≤1)以及自然数n0使ρ(Fn0x,Fn0y)≤αρ(x,y) (x,y∈X)成立，这里ρ(·,·)表示X中的距离，则F存在唯一的不动点。

2 结果及证明

定理1 若f满足局部Lipschitz条件，即∀r>0，存在一个t的局部有界非负可测函数α(t,r)，使得∀t≥0有

‖f(t,φ)-f(t,ψ)‖≤α(t,r)‖φ-ψ‖B, ‖φ‖B≤r, ‖ψ‖B≤r,

则∀φ∈B,存在t0(φ)>0,使得初值问题式(1)在[0,t0(φ)]上的mild解存在且唯一。

证明∀t>0，记

B1={g:g为(-∞,0]上的X值函数，g|[0,t]∈C([0,t],X),g|(-∞,0]∈B},

赋予范数

∀g∈Bt，则Bt按此范数构成一个Banach 空间。设λ>0和φ∈B,令

(3)

‖gs‖B≤(λ+‖φ(0)‖)K0+‖φ‖BM0:=Q,s∈[0,t]。

因为T(t)是X上的C0-半群，由引理1，∀t≥0存在M1,M2>0,δ1,δ2>0,使得‖S1(t)‖≤M1eδ1t,‖S2(t)‖≤M2eδ2t。因此

于是，由C0-半群T(t)的强连续性，

定理1得证。

定理2 设在初值问题式(1)中，-∞

‖f(t,φ)-f(t,ψ)‖≤β(t)‖φ-ψ‖B

(4)

成立，则∀φ∈B,初值问题式(1)对应于φ在[0,T]上的mild解存在。

‖Pg1(t)-Pg2(t)‖BT≤

(5)

其中‖·‖∞表示L∞(R+)中的范数。对任意的正整数n，有

(6)

事实上，对n=1时，式(5)说明式(6)为真。现在假设式(6)对n=m成立，则由(3)和式(4)，有

‖Pm+1g1(t)-Pm+1g2(t)‖BT≤

定理2得证。

3 结论及讨论

定理1、定理2研究证明了在非线性项中存在时滞项时，梁振动方程mild解的存在性，推广并加强了文献[15]中的结论。这两个定理分别考虑了局部、全局mild解的存在性，也进一步推广了具有结构阻尼和无限时滞的梁振动方程解的性质。然而，本文考虑的问题仅仅是梁振动方程研究中的一个方面，在今后还可以在考虑mild解存在性的基础上，研究具有结构阻尼和无限时滞的梁振动方程正解的正则性、周期性以及渐近稳定性等等问题。