例谈“数学归纳法”在物理问题中的应用

2018-12-28 20:52陈蒙
新课程·中学 2018年6期
关键词:归纳法举例

陈蒙

摘 要:题目往往要求学生结合已知条件,进行多次过程分析,然后再进行归纳,合理推导,进而得到结论。高考物理题中也数次出现了这样的情景,在处理多过程问题时,很多情况下可以用数学归纳法来分析解决。

关键词:归纳法;多过程;举例

“数学归纳法”是一种研究问题的方法,特征一般是从个别的、特殊的现象和规律出发,推出具有一般原理性和普遍适用的结论或规律。数学归纳法对学生逻辑分析能力和数学应用能力有较高的要求。题目往往要求学生结合已知条件,进行多次过程分析,然后再进行归纳,合理推导,进而得到结论。高考物理题中也数次出现了这样的情景,在处理多过程问题时,很多情况下可以用数学归纳法来分析解决。

在此,通过举几个典型例说明这一方法在处理多过程物理问题中的应用。

例1 有一弹性小球让其从4.9m高处自由落下(不计空气阻力),已知,小球与水平地面每次碰撞后,由于机械能的损失,速率减小为碰前的7/9,不考虑小球与地面碰撞的时间,求出小球从开始下落一直到运动停止所用的总时间。

解析:小球第一次落地时的速度为:v0=■=■=9.8m/s

第一次下落时间为:t0=■=■=1s

第一次碰后速度为:v1=v0×■

第一次碰后,上升再落回地面时间为:2t1=2v1/g=2×■s

第二次碰后速度为:v2=v1×■=v0×(■)2

第二次碰后,上升再落回地面的时间为:2t2=2v1/g=2×(■)2s

可以推知,第n次碰后,上升再落回地面的时间为:2tn=2vn/g=2×(■)ns

故,所求总时间可以表示:T=t0+2t1+2t2+…+2tn

进而求和可得:T=8s

例2 通过对前两次过程分析后显示出来结论的规律,然后通过数学归纳法得出多次后的结论,最后由数列求和,数学思想渗透较多。下面再分析一道多过程的碰撞问题,此题为一道高考原题,体会一下归纳法在处理多过程碰撞问题上的应用:例2.质量为m绝缘球与质量为M=的金属球并排悬挂在一起,如图所示。质量关系:M=19m,如果将绝缘球拉到与竖直方向成θ=60°的位置,然后让其自由释放,当其摆到最低点后会与金属球发生碰撞。假设碰撞为弹性碰撞。在最低点周围分布有一定范围内的垂直于纸面的磁场。由于磁场阻尼,再次碰撞前金属球將静止于最低点。如果让某次碰撞后,绝缘球偏离竖直方向的小于45°,那么至少需要几次碰撞才能实现?

解析:假设绝缘球的摆长为L,并且在这里规定向左为速度方向为正方向,第一次碰撞前、后绝缘球的速度为v0、v1,金属球的速度为:V1。

分析第一次碰撞,根据动量守恒定律列式得到:mv0=MV1-mv1

机械能守恒定律列式得到:■mv02=■MV12+■mv12

解出:v1=■v0,V1=■v0

分析第二次碰撞,同样道理可以列式:

mv1=MV2-mv2,■mv12=■MV22+■mv22

解得:v2=(■)2v0,V2=(■)2v0

分析第三次碰撞,同理可列式:mv2=MV3-mv3,■mv22=■MV32+■mv32

解出:v3=(■)3v0,V3=(■)3v0,

由此,可以推知,第n次碰撞后,绝缘球的速度为:vn=(■)nv0,而金属球速度为:Vn=(■)nv0

分析第一次碰前绝缘球的动能可以表示为:E0=■mv02=mgl(1-cosθ0)

第n次碰后绝缘球的动能为:

■=■mvn2=■m(■)2nv02=0.81nE0=mgl(1-cosθ)

整理得到:0.81n=0.586,我们已知:0.813=0.531,0.812=0.656

故可以分析得到结论,经过3次碰撞后满足题意。

例2对学生的物理逻辑思维要求比较高,而后来的处理用数学归纳法比较巧妙地简化了思考的难度,为一道典型的归纳法在高考题中的应用。

在处理关于多过程物理问题很多情况需要应用数学归纳法,这需要学生对物理情景准确把握,正确分析,合理推知,最终得出结论。

参考文献:

[1]邹鹏.07年高考新题型之“物理条件的相关性”知识的应用[J].高考(理化生),2007.

[2]黄慧.物理过程·对比鉴别·巩固提高[J].佳木斯教育学院学报,2012.

编辑 高 琼

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