发掘隐性信息，开拓解题思维

仲惟超

【摘要】“四点共圆”因其隐蔽性被称为“隐圆”.在解决有关平面几何问题时，如若我们能够发现问题背景下的“隐圆”，便可借助圆的丰富性质解决问题，开拓我们的解题思维，突破解题难点.本文从“四点共圆”条件的探究出发，总结了发现图中“隐圆”的两条常用条件，并以典型题为例，阐述“隐圆”在解决较复杂的平面几何问题中的作用与优势，做到“图中无圆，心中有圆，解题有方，出奇制胜”.

【关键词】四点共圆;隐圆;平面几何;解题思维

初中数学图形与几何领域主要研究几何图形的边边关系、角角关系以及边角关系.而人教版义务教育教科书九年级上册“圆”这一章是义务教育阶段平面图形学习的最终章.在圆内，我们借助圆内有关性质，可以非常方便地进行角与角之间的相互转化，同时，本章数学活动2“探究四点共圆的条件”又引发了笔者的思考，如若将一些多边形问题放在圆的背景下解决，是否会突破解题难点，开拓解题思路呢？于是笔者进行了如下思考.

一、“四点共圆”条件探究

我们知道，根据圆的定义可知“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”.这也是我们研究“四点共圆”的理论基点，在此基础之上，我们可以思考以下问题：

问题1 如图1所示，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C=∠D=90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.

我们可以取公共斜边AB的中点E，连接DE，CE，如图2所示.利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，可证DE=CE=AE=BE，由圆的定义知结论成立.该问题向我们呈现了“四点共圆”的基本模型图.

在此基础上，我们将角一般化，思考“对一般角，若有∠ACB=∠ADB，是否可证A，B，C，D四点在同一个圆上”？如图3所示.

该问题的证明利用“反证法”：

与已知“∠ACB=∠ADB”不符，所以E不在圆上.同理，第二种情况可在AC延长线上取一点E，同样运用反证法可证E不在圆上，因此，只能是C与A，B，D共圆.由此可得“四点共圆”的第一个常见条件：共底的，并有在底边同侧的相等顶角的两个三角形的4个顶点共圆.

利用刚才证明问题1中的方法，并结合教材数学活动2，我们提出新的思考.

问题2 对四边形ABCD，如果它的对角互补，则四边形的四个顶点是否共圆？我们依然利用“反证法”分两种情况进行证明.如图4，5所示.

同理，在图5中，取DC延长线上一点E，也可证E点若在圆上与条件不符，因此，E点只能与C点重合，可证当四边形对角互补时，四边形的四个顶点共圆.

由此，我们得到了初中数学平面几何问题中发现“隐圆”的两个重要条件：

（1）共底的，并有在底边同侧的相等顶角的两个三角形的4个顶点共圆;

（2）对角互补的四边形的4个顶点共圆.

二、“四点共圆”解题应用

在解决平面几何问题的过程中，我们如何能够发现问题背景中的“隐圆”，而圆的有关性质真的能帮助我们突破解题难点吗？我们以一个例题为例，与大家分享“隐圆”在解决较复杂的平面几何问题中的应用.

该解题思路的难度在于学生习惯运用角的转化证两角相等，而非通过证角平分线得两角相等，因此，学生无法想到通过添加此辅助线进行构图;其次对三角形全等性质的运用往往停留在对应边相等，对应角相等，而非面积相等等，这些思维的局限性导致该问题无法解答.

如果学生能够从该问题背景下找到图形中的“隐圆”，该问题的思维难度将降低不少.如图所示，在共底的△DPC与△APC中，我们已知底边PC的同側顶角∠BDC=∠EAC，则A，C，P，D四点共圆.

此种解题思路正是学生习惯使用的利用角的转化证两角相等，符合学生的思维习惯，降低了思维难度.其中的解题核心就是发现图中的“隐圆”，并利用圆的相关性质进行角的转化.

以该题为模型，下面这道变式题也就好想多了：

变式 以△ABC的边AB，AC为边，分别向外作正三角形ABD、正三角形ACE，DC，BE交于点F.求∠DFE的度数.

在解决该问题时，我们可以通过添加辅助线，连接AF，构造共圆的四点A，F，C，E（如图所示）.

根据题中条件易得△ACD≌△AEB，

可见，发掘问题背景下的“隐圆”信息对解决较复杂平面几何问题的重要性.