超声反应器中运动空化气泡的动力学研究

马 艳， 申学鹏， 赵飞燕

(宁夏师范学院 物理与电子信息工程学院， 纳米结构及功能材料工程技术研究中心， 宁夏 固原 756000)

0 引 言

超声波能够驱使液体中的气泡做剧烈的收缩振动， 当气泡被周期性压缩时， 能够产生一系利的空化效应， 包括机械效应、 化学效应、 热效应和声致发光效应等[1-9]. 实验表明：液体中的气泡在声场作用下， 除了在声波的作用下会出现收缩振动外， 还会在声场力的作用下朝着声压波腹或波节中运动， 这些运动的气泡聚集在声压波腹处形成纤维状的分支， 这样的结构对含气泡的声化学和声机械设备等是一个很重要的因素[10]， 这些实验现象说明， 液体中的气泡在声场作用下的运动是超声空化现象的一个重要问题， 声场中气泡的平动现象会对气泡的空化现象产生什么样的影响， 有限空间中不同位置处气泡的运动情况及空化情况等问题的研究将为超声空化的应用提供重要的理论依据.

近年来， 很多作者对于单个气泡在声场受到的声场力和单个气泡的平动进行了一系列研究[11-19]， Akhatov研究了强声场中单个静止气泡受到的主Bjerknes力， 并对主Bjerknes力对单个非线性振动气泡的位置稳定性的影响做了讨论[17]， 沈壮志研究了驻波声场中空化泡的运动特性， 模拟了驻波场中各位置处空化泡的运动状态[18]， Doinikov研究了弱声场中单个球形大气泡在趋于共振频率的驱动声场中的平动现象， 为声场中不规则气泡的运动提供了理论解释[19]等等. 然而在以往的报道中， 关于强声场中平动气泡的空化特征却鲜有见到， 实际液体中， 空化气泡的收缩振动是伴随着气泡在声场力作用下的平动现象的， 而强声场中气泡的平动对气泡径向振动及气泡的空化的影响不能忽略不计. 本文在Doinikov关于气泡平动的理论模型上研究了单个空化气泡在强声场中的运动、 不同位置处运动气泡受到主Bjerknes力及运动气泡在塌缩破裂时的空化动力学特征， 对实际液体中空化气泡的运动及超声反应器中的空化现象及超声医疗方面的应用给出了理论指导.

1 运动空化气泡的动力学方程及所受声场力

假设液体中的球形气泡在声场的作用下振动， 假设声波只沿x方向传播， 驱动声场可表示为

Pdr=-Pasinωtcoskd,(1)

式中：ω为驱动声场角频率；Pa为驱动声压振幅；k为波数；d为气泡中心距最近波腹的距离. 假设气泡在整个振动过程中仍保持球形， 单个球形气泡在声场中的振动运动耦合方程[19]可以表示为

式中：R表示气泡的半径；ρ表示液体的密度；c表示液体中的声速；x表示气泡的中心的位置；Fex为运动气泡受到的外力[19]，Ps可表示为

式中：μ表示液体的粘滞阻力系数；σ表示表面张力系数；γ为气泡内部气体的绝热指数. 方程(2)， (3)为考虑了气泡平动后单个球形气泡的动力学方程组， 当不考虑气泡的平动影响时， 方程(2)就回到了经典的Keller-Miksis方程.

球形气泡受到的主Bjerknes力[17]可以表示为

FPB=-〈PdrV(t)〉,(5)

式中：Pdr为气泡所在位置处声压梯度， 联立式(1)和式(5)， 可得运动的球形气泡在声场中的主Bjerknes力

(6)

2 运动空化气泡的动力学研究

数值计算参数为：驱动压力振幅Pa= 1.35×105Pa， 驱动频率f=20 kHz， 表面张力系数σ=0.072 5 N/m， 粘滞系数μ=0.001 kg/(m·s)， 液体密度ρ=1 000 kg/m3， 液体中的声速c=1 490 m/s， 绝热系数γ=1.4.

2.1 气泡位置对运动气泡的空化动力学的影响

图 1 数值模拟了在驱动声压振幅为1.35×105Pa， 驱动频率为20 kHz下， 一个初始半径为9 μm的运动气泡的振动最大半径随气泡在声场中位置的变化关系， 本文模拟的气泡位置变换范围在一个波长范围以内， 如图 1 所示， 不同位置处气泡的振动是关于1/4波长对称的， 在靠近波腹位置， 气泡的振动最为激烈， 气泡的半径能够扩张到初始半径的6.5倍左右， 发生空化现象， 当气泡的初始位置远离波腹时， 气泡的振动变得平缓， 当气泡的位置在靠近其最近的波腹距离为1/4波长处， 气泡的最大振动半径是初始气泡的1倍左右， 空化现象不会发生.

图 1 气泡振动最大半径随气泡位置变化曲线Fig.1 The relationship of the best radius of a bubble with position

图 2 是运动气泡在距声压波腹1/50声波长位置处气泡的径向振动的数值模拟， 数值模拟结果表明：运动气泡在一个声周期内， 气泡扩张最大半径57.51 μm. 图 3 是一个声周期内距离声压波腹1/50声波长位置处气泡内部的温度变化， 数值模拟结果表明， 初始半径为9 μm的运动球形气泡在距声压波腹1/50声波长的位置处， 一个声周期内， 泡内的最高温度为1 571 K， 出现在气泡扩张到最大半径后第一次反弹收缩至最小半径时. 上述结果表明：在驱动声压振幅为1.35×105Pa， 驱动频率为20 kHz 的驱动声场中， 距离波腹1/50声波长处初始半径为9 μm的球形气泡在声波的作用下会朝着声压波腹处移动， 并且能够发生空化现象， 在这种情况下， 气泡的收缩振动和气泡的平动是同时发生， 并且是相互耦合的， 因此， 气泡的平动会对气泡的径向振动产生影响， 减弱气泡的径向振动， 因此考虑运动的气泡空化现象更接近真实液体中气泡的运动状态.

图 2 距声压波腹1/50处气泡的径向振动Fig.2 The radial oscillation of a bubble with the position of 1/50 depart from pressure antinodes

图 3 距声压波腹1/50处气泡内部温度变化Fig.3 The inside temperature of a bubble with the position sof 1/50 depart from pressure antinodesii

2.2 气泡位置对气泡平动速度的影响

单个球形气泡在声场作用下， 会向着波腹或者波节运动， 为了研究不同初始位置气泡的运动， 本文数值模拟了驱动声压振幅为1.35×105Pa， 驱动频率为20 kHz的声场下， 一个初始半径为9 μm 的球形气泡的平动速度及其影响因素.

图 4 不同位置处气泡的平动速度Fig.4 The translation velocity of different position depart from pressure antinodes

图 4(a)～(d)分别是气泡距声压波腹距离为0， 4， 8， 18 mm位置处气泡的平动速度， 数值模拟结果表明， 当气泡初始位置在声压波腹时， 气泡无平动， 其在声场作用下做剧烈的收缩振动， 发生空化现象. 当气泡初始位置远离声压波腹时， 气泡除了做收缩振动之外， 还出现了平动， 其平动速度随着离声压波腹位置距离的增大而逐渐增加， 当气泡初始位置位于距声压波腹4 mm时， 也就是距声压波腹接近1/16声波长时， 气泡的平动速度增大， 可以达到78.86 m/s， 当气泡的初始位置远离1/16声波长时， 气泡的平动速度逐渐减小， 图略， 当气泡的初始位置处于距离声压波腹1/8波长附近时， 气泡的平动速度减小到3.67 m/s， 当气泡初始位置离声压波腹超过1/8声波长时， 气泡的平动速度迅速减小， 当气泡离声压波腹的距离接近1/4声波长， 也就是靠近声压波节时， 气泡平动速度非常小， 如图4(d)所示. 这种现象的原因是：气泡在声波的作用下会朝着声压波腹或波节运动， 当气泡初始位置位于声压波腹处时， 气泡只做收缩振动， 不会再朝着另一个声压波腹或波节运动， 而当气泡的初始位置远离声压波腹时， 气泡除了做收缩振动之外， 在声场的作用下将会向着距离最近的声压波腹或者波节运动， 而且数值模拟结果也表明， 气泡的平动速度快慢有一个区间范围， 在距声压波腹1/16波长附近的气泡其平动速度最大， 能够迅速朝着其最近的声压波腹或声波波节运动， 当气泡初始位置距声压波腹趋于1/4声波长时， 气泡的平动速度非常缓慢， 因为此时气泡已经靠近了声波波节， 所以其运动速度趋于0， 在波节位置处来回振荡.

3 运动气泡受到的主Bjerknes力及其对气泡动力学的影响

3.1 初始半径对运动气泡受到的主Bjerknes力的影响

气泡在声场作用下， 会向着波腹或者波节运动， 气泡受到驱动声场的作用力就称为主Bjerknes力[17]， 图 5 是初始半径分别为2, 9, 12 μm 的球形气泡受到的主Bjerknes力与气泡初始位置的关系. 通过对比可以发现， 当驱动声压振幅为1.35×105Pa， 驱动频率为20 kHz 时， 距离声压波腹为1/4波长范围内初始半径为2， 9和12 μm的运动的球形气泡在声场中受到的主Bjerknes力都为负， 根据文献[17-18]的结论， 在这个范围内的气泡都会向着最近的波腹运动， 气泡初始半径越大， 其受到的主Bjerknes力越大， 也就是说在距声压波腹1/4波长范围内较大的大气泡会更快地运动至声压波腹处.

图 5 不同尺寸的气泡受到的主Bjerknes力与气泡位置的关系Fig.5 The curve of the primary Bjerknes force and position with different initial radius of a bubble

3.2 声场参数对运动气泡的影响

声场参数对运动气泡的动力学特性会产生很大影响， 为了研究不同声场下气泡的动力学特性， 本文数值模拟了同样尺寸的气泡在不同驱动声压和不同驱动频率下受到的主Bjerknes力， 用来研究气泡的动力学特性及运动趋势.

图 6 是驱动频率为20 kHz， 驱动声压振幅为1.15×105， 1.25×105和1.35×105Pa下的初始半径为9 μm运动的球形气泡受到的主Bjerknes力， 数值模拟结果表明：同样驱动频率、 不同声压振幅下， 同样尺寸的球形气泡在距离波腹1/4波长范围内， 受到的主Bjerknes力都为负， 这表明气泡会在声场力的作用下朝着最近的波腹运动.

图 6 不同驱动压力下主Bjerknes力与气泡位置的关系Fig.6 The curve of the primary Bjerknes force and position with different driving pressure

除此之外， 在上述条件下， 气泡受到的主Bjerknes力和声压振幅成正比， 声压振幅越大， 气泡受到的主Bjerknes力越大. 这说明：低频强声场中(Pa>1×105Pa)， 距离声压波腹1/4波长范围内小的球形气泡(R0<10 μm)在声场作用下会朝着最近的波腹运动， 并且声场越强， 气泡运动的速度越快.

图 7 不同驱动频率下主Bjerknes力与气泡位置的关系Fig.7 The curve of the primary Bjerknes force and position with different driving pressure a

图 7 是驱动声压振幅为1.35×105Pa， 初始半径为9 μm的球形气泡在驱动频率为20， 40和80 kHz 的声场中受到的主Bjerknes力随气泡位置的变化曲线， 为了进行比较， 本文分别数值模拟了距离声波(驱动频率为20 kHz)波腹1/4波长范围内的气泡受到的主Bjerknes力， 距离声波(驱动频率为40 kHz)波腹1/2波长范围内的气泡受到的主Bjerknes力， 距离声波(驱动频率为80 kHz)波腹1个波长范围内的气泡受到的主Bjerknes力. 数值模拟结果表明： 对于80 kHz的声波而言， 当气泡初始位置距声压波腹为0～4.65mm(0～1/4声波长)时， 气泡受到的主Bjerknes力负， 这表明这些位置处除了靠近波节位置外， 其余位置处的气泡会朝着声压波腹运动， 这个区域的气泡在前面的分析中能够发生空化现象； 当气泡初始位置距离声压波腹为4.65～9.25 mm(1/4～1/2声波长)时， 气泡受到的主Bjerknes力大于零， 这意味着这个区域内的气泡将向着距其最近的波节运动， 根据前面的分析， 波节处的气泡不会发生空化现象； 当气泡初始位置距离声压波腹为9.25～14.00 mm(1/2～3/4声波长)时， 气泡受到的主Bjerknes力小于零， 表明除了波节附近的气泡之外， 其余位置处的气泡会向着距其最近的波腹运动， 这个区域内的气泡也会发生空化现象； 当气泡初始位置距离声压波腹为14～18.60 mm(3/4～1个声波长)时， 气泡受到的主Bjerknes力为正， 气泡会朝着距其最近的波节运动， 不会发生空化现象.

当驱动频率为40 kHz 时， 气泡在距离声压波腹为0～9.4 mm的位置处， 其受到的主Bjerknes力小于零， 表明除了靠近波节位置处的气泡之外， 其位置处的气泡都会朝着声压波腹处运动， 发生空化现象， 靠近9.4 mm处的气泡根据前面的分析， 会在波节处来回振荡， 这些气泡不发生空化现象； 当气泡在距离声压波腹为9.4～18.6 mm(1/4～1/2声波长)的位置处， 气泡受到的主Bjerknes力为正， 表明这些位置处的气泡在声场的作用下会朝着声波波节处运动， 不会发生空化现象.

当驱动频率为20 kHz 时， 气泡受到的主Bjerknes力也遵循上述的规律， 其运动及动力学分析见3.1节. 综上所述， 声场驱动频率越大， 向声压波腹处运动的气泡所处的范围越小， 能够发生空化的气泡数量越少， 因此在上述研究条件下， 对于考虑了平动的气泡而言， 低频超声更利于其空化.

4 结 论

实验证明， 当液体处于声场中， 液体中的气泡会向着声压波腹或波节处运动， 因此声场中气泡的空化应该考虑气泡发生的平动对其造成的影响， 本文研究了强声场(Pa>1×105Pa)中运动球形气泡的动力学特性， 研究结果表明：强声场中气泡的平动会影响空化气泡的动力学特性， 使得气泡空化时最大扩张半径和泡内温度均小于同样条件下的静止气泡； 在波腹位置处的气泡不发生平动， 气泡的平动速度随着气泡远离声压波腹而逐渐增加， 当气泡位置位于距声压波腹1/16声波长附近位置处， 气泡的平动速度最大， 会迅速向波腹运动， 发生空化现象， 当气泡的位置距声压波腹距离趋于1/4波长处时， 气泡会在波节处振荡， 不发生空化现象； 驱动声压振幅越大， 气泡受到的主Bjerknes力越大， 气泡越容易向声压波腹处运动而发生空化； 低频强声场中， 能够发生空化的气泡更多， 所处的范围更大， 相较高频声场更易发生空化.