逆向思维在初中数学解题教学中的应用

史晓婷

(河北省保定市满城区坨南乡中学，河北 保定 072150）

数学教学对学生的思维训练，是一项长期而艰巨的任务。数学教师要结合教材内容引导学生开展逆向思维，提高思维的深刻性和灵活性，使学生的潜能得到充分的发挥。

一、逆向思维对初中数学教学的有利影响

当前，很多初中数学教师在教学过程中更多的受应试教育的影响，大多存在知其然不知所以然的现象，在题目讲解过程中过多的注意学生的解题结果，忽视了学生的解题过程，这种单一的对学生所学知识点的横向或者纵向的考察很难使得学生的解题能力得到实质性的提高。所以，帮助学生养成良好的解题反思习惯，有助于提高学生对所学知识点结构系统性回顾，加强学生自身的问题拓展能力和问题联系能力。在不断地反思解题方式中，让所学知识点不在孤立的存在，促进学生形成系统的认知结构。

二、初中数学逆向解题思维的应用分析

（一）逆向思维在定理数学以及基础定义公式中的应用

明确概念的最为主要的两个要素就是外延和内涵，这两者之间是反比的关系，内涵较少则外延就会相对较广，内涵丰富那外延就会较小，数学的概念也是这样的。在概念的教学过程中，深入剖析概念的外延以及内涵的基础时，就得让学生通过应用逆向思维的方式来体会概念存在的必要条件以及充分条件。

相比较于定义来说，学生在解题的过程中使用公式的频率较高，所以，教师在讲解公式的时候应用逆向思维就非常的有必要了。在现实的教学过程中，要想深入的了解数学公式，往往都是通过应用逆向思维的推导。例如，我们大多数人都熟悉的平方差公式；a2-b2＝（a＋b）（ab），如果只是单纯的使用语言来描述：两个数的平方差与这两数之差和两数之和的积，那学生理解以及掌握起来是非常困难的，记忆公式的牢固性也是非常差的，也许转眼就能忘记，而让学生应用反向推导的原理，（a＋b（a-b）除去括号就变成a2-ab＋ab-b2，最后结果就是a2-b2，这样学生在理解平方差公式的时候就有着双向的理解，在公式的使用过程中也不会仅凭借这自身的记忆来进行，并且，在学生记忆混淆的时候，还可以自己迅速的推导来获得正确的结论，在学习复杂的公式是，这种方法尤其适合。例如学生在不知道a3-b3是等于（a-b）（a2＋ab＋b2）还是等于（a-b）（a2-ab＋b2）的时候就完全可以临时通过简单的计算，看看那个式子可以计算出a3-b3，的出结果后就可以继续进行解题了。

（二）在概念教学中渗透逆向思维

概念是初中数学教学的基础环节，没有概念就没有数学知识，对于学生数学思维的形成具有非常重要的影响。在数学学习过程中，学生总是习惯于从左到右，这就会形成一种定势思维，如果反过来用的话就会感觉很不习惯。在此背景下，教师在授课过程中除了为学生讲授定义的基本内容及其拓展应用之外，还应当注重引导学生进行逆向思维的训练，加深对定义的印象，全面掌握定义的内容。如，在讲授“同类项”时，笔者为了让学生对同类项的概念加深理解，提出了以下两道问题：①当k＝？时，2xky与-3x2y是同类项；②已知4xmy4-x2y是同类项，则2m-n＝?。一开始，学生在课堂上无从下手，于是，笔者就引导他们进行逆向思考，从而得出k＝2，2m-n＝0的结论。在一些几何知识中，有的概念是能够互相进行正反推理的，即，平行四边形定义通过它的性质推导也可以得到。需要注意的是，有的时候，学生会因为对一些原命题的逆命题不能把握，从而导致出现一些错误，在“同角的余角相同”时，有的人则会认为它的逆命题是“如果是同角，那么就相等”，这样的思路错误，因为学生没有判断内在的条件和结论，只是单纯地取反。因此，在日常教学中，教师应当引导学生对概念进行深入剖析，然后着进行逆向思维的训练。

（三）在数学解题的过程中应用逆向思维

在对数学定义以及定义等应用基本的逆向思维时，学生就可以在解决复杂的数学问题时更加的轻松，最为突出的两种方法就是反证法、分析法以及举反例法；反证法是通过应用逆向思维来进行解答数学题目的，这就得对所要证明的结论先假设其不成立，在对这个假定的条件来进行正确的逻辑推理，并最后得出一个与之不符的结论来推翻之前的假设，进而使得之前所要证明的结论得到确认；分析法就是从命题的结果来推理已知条件的方法，这种方法对学生的逆向思维有着极大的锻炼的作用，分析法的基本内容主要就是执果索因，还有一个关键就是该命题的解题过程是一个可逆的过程；举反例法主要就是在一个数学的命题中给出另一个命题，并且判断其是错误的，给出一个条件，这条件满足该错误命题但结论却不能成立的方法就是举反例法，这种方法对学生的逆向思维锻炼也是有着较好的促进作用。例如，学生在解答已知方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其两根之和是S1，两根的平方和是S2，两根的立方和是S3，然后求aS3＋bS2＋cS1的总和。在解答这道题的时候，很多学生在第一时间很可能就会使用a、b、c来进行繁琐的运算来计算出S1、S2、S3的值，最后带入算出aS3＋bS2＋cS1的值，这种方法不仅花费的时间长，学生还可能在这么繁琐的过程中出现计算错误，导致最后的结果错误。如果在解题的过程中应用逆向思维，增强学生的思维能力，引导学生进行猜想，S1、S2、S3之间是存在着一定的联系的，学生可以通过这些联系来进行化简，这就使得复杂的运算简单化，并以此得出正确的结果，避免了学生走很多弯路，也节省了解答题目的时间。

三、结语

逆向思维在初中数学的应用远不止于此，范围十分广泛。广大数学教师应当开阔思路，抓住学生数学思维发展的关键期，培养他们的数学思维以提升整体的水平，发散其解题思路，最终将学生培养成为创新型的高素质人才。