温度对裸露的输气管道固有频率的影响

赵梦晨,赵子龙,马 青

(太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)

输气管道是连接全国输送资源的大动脉，是我国发展必不可少的基础设施。西气东输工程、川气东输工程以及中国-中亚天然气管道工程等都是重要的应用管线。埋地管道在采空区，可能会由于土壤塌方等原因造成输气管道暴露在自然环境中，因此，围绕裸露管道的基础性研究是十分必要的。

国内外相关机构和科研工作者对裸露的埋地输气管道沉降变形、应力应变及在湿热环境中复合材料梁的振动特性等问题已作了大量研究。Hucka[1]等人通过地表的沉降和弯曲变形评估了管道的应力应变；张一楠[2]等建立了跨越段的埋地管道与土壤相互作用时的有限元模型，对于不同角度的跨越结构和不同规模土体发生沉降时，管道应力变化的情况进行了研究；Chandiramani[3]等基于高阶剪切变形公式建立了复合材料梁自由振动的力学模型，讨论了几何非线性等对其振动特性的影响；Naidu和Sinha[4]用有限元方法分析了湿热环境下复合材料壳的非线性自由振动；蒋宝坤[5]等基于复合材料在湿热环境下的本构关系推导了旋转复合材料梁轴力和弯矩的表达式，分析了温度对轴力和弯矩的影响；孙宪航[6]等用有限容积法建立了裸露输油管道二维非稳态传热模型；魏孔瑞[7]等借助强度理论，建立了悬空管道的沉降变形失效评估模型，得出了最大允许悬空长度；杨晓辉[8]等研究了利用变形表达式对管道应力的影响。

然而，温度对裸露管道振动特性影响的研究极少，温度应力为σT=EαΔT,可见当ΔT较大时，σT的数值相当可观。因此，本文基于考虑温度影响的本构关系推导了管道轴力和弯矩的表达式，然后利用达朗贝尔原理得出运动微分方程，并应用里兹法进行求解，导出了温度对输气管道刚度影响的表达式，最后讨论了温度对输气管道固有频率的影响。

1 运动微分方程的建立

1.1 考虑温度作用下的管道的本构关系

考虑温度影响时管道材料的本构关系[9]可以表示为:

σ=E(ε-εT)

(1)

式中:E为弹性模量；σ为管道应力；ε为管道应变；εT为管道热应变。

式(1)中的热应变可表示为

εT=αΔT

(2)

式中：α为热膨胀系数；ΔT为温度变化值。

由式(1)和式(2)可得

σ=E(ε-ΔTα)

(3)

式(3)与一般本构关系不同的是可以将温度效应产生的应力考虑在内。

1.2 内力计算方程

截面轴力为

式中：A为管道的截面面积，S为静距。

N=-EΔTαA

(4)

截面弯矩为

(5)

1.3 管道振动控制方程

管道长为l，外直径为D，如图1所示。

图1 管道模型
Fig.1 Model of pipeline

管道受力分析如图2所示

图2 管道受力
Fig.2 Force acting on pipeline

基于达朗贝尔原理，可得管道振动微分方程为:

进而可得

(6)

将式(4)和式(5)代入式(6)可得

(7)

式(7)即为管道振动微分方程。

2 方程解法

本文以两端简支为例，其边界条件可表示为

(8)

本文采用里兹法进行求解，令

其中Φi(x)为满足边界条件(8)的一组线性无关的试函数，取

其中qi(t)广义坐标；N为模态阶数。

将y(x,t)代入式(7)，使等式两端同乘以Φj(x)并沿管道长l积分，可得如下方程组

(9)

式中，M为质量阵；K为刚度阵，它们分别为

M=[mij]N×N，K=[kij]N×N，i,j=1,2,…,N

其中

将Φi、Φj代入mij和kij得到

取q=Qsin(ωt+Φ)

(10)

式中，Q为广义模态，ω为频率，t为时间

将式(10)代入式(9)，有

(K-ω2M)Q=0

(11)

式中，(K-ω2M)为系统的特征矩阵，由此求得输气管道频率方程为

|K-ω2M|=0

(12)

将mij、kij代入式(12)中得到

(13)

利用式(13)，即可求得各阶固有频率ωi.

3 数值计算与讨论

本文管道材料采用X60(L415)，不考虑管道材料参数随温度变化，视为常数。

表1 管道的相关参数
Tab.1 Parameters of pipeline

管道外径D508 mm管道壁厚t6

3.1 计算不同长度下温度对固有频率的影响

在本文中选取管道裸露长度l分别为10 m、20 m、30 m, 壁厚t=8 mm，计算温度变化值在0 ℃到50 ℃时，温度对输气管道固有频率的影响。

由图3可以看出，温度对低阶固有频率的影响较小，对高阶频率的影响较大，各阶固有频率均随温度的升高而降低；管道裸露长度越长，温度对管道固有频率的影响越大。

3.2 计算不同壁厚下温度对固有频率的影响

在本文中取在裸露管道长度l为30 m，壁厚t=6 mm、8 mm、10 mm.计算温度变化值在0 ℃到50 ℃时，温度对输气管道固有频率的影响。

壁厚t=8 mm时如图3(c)所示。图4结果可以看出，温度对低阶固有频率影响不大，对高阶固有频率影响明显，影响随着壁厚的增加而变大，但影响不大。

(a)l=10 m

(b)l=20 m

(c)l=30 m

图3 三种长度下温度对固有频率的影响
Fig.3 The influence of temperature on natural frequency in three lengths

(a)t=6 mm

(b)t=10 mm

图4 三种壁厚下温度对固有频率的影响

Fig.4Theinfluenceoftemperatureonnaturalfrequencyinthreewallthickness

4 结 论

(1)在最大允许悬空长度范围内，随着裸露长度和壁厚的增加，温度对管道固有频率影响加剧，但影响微小。

(2)温度对低阶固有频率的影响较小，对高阶频率的影响较大。

(3)输气管道各阶固有频率随温度变化值增大而减小。