高中数学学习中如何掌握函数最值的性质

高文汉

在求某个数值的最值时，经常要应用函数思想来解决，部分同学因为对函数最值的性质不够了解，所以不能应用函数思想来解决问题.本文将说明在高中数学学习中掌握函数最值性质的方法.

一、对应图像，宏观探讨函数最值的概念

从函数最值的概念来看，在探讨函数的最值时，首先要确定一个函数的范围，其次要探讨函数的单调区间，再次要探讨函数的增减性，最后要探讨函数的最值.这是一种把函数与集合论结合起来，探讨函数最值的方法.

图1

如题1：图1所示是定义在区间[-5，5]上的函数y=f（x），请说明该图像函数的单调区间，及每个区间上它是增函数还是减函数.该函数共有四个单调区间[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数；在[-2，1]，[3，5]上是增函数.

二、应用习题，明晰函数最值的探讨方法

在了解了函数最值相关概念以后，要了解函数最值探讨的方法，就是用科学的数学语言来描述函数最值的问题，通过说明概念与概念的关联，来说明函数最值的计算方法.

如题2：求函数y=2x-1在区间[2，6]上的最大值和最小值.应用函数最值的概念来分析函数的问题，建立数学关系.首先，确定函数最值的探讨范围.设x1、x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x10，（x1-1）（x2-1）>0，于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.这一步说明了该函数是个减函数，即x越大，y越小.最后，根据函数的最值探讨结合，把已知条件代入到数学关系中，根据数学关系得到函数的最值.根据已知条件获取函数y=2x-1在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，根据函数的单调性与增减性，可知当x=2时，ymax=2；当x=6时，ymin=25.

三、结合性质，抓住函数最值的探讨特征

在遇到实际数学应用问题时，要能捕捉到函数最值问题的特征.首先确定该数学问题是个函数问题，或者能够转化成函数问题.然后，要求探讨的是在某个区间中x值或y值的取值范围，或者探讨y值或x值的最大值或最小值，都可以应用函数最值的性质来探讨.

如题3：中兴种子公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元的税率来纳税.现公司的成本原定计划收购a万担，然而此时因政策优惠，出台了将征税率降低x（x≠0）个百分点的政策，如在不增加成本的前提下，预测收购量可增加2x个百分点.（1）根据现有已知条件建立税收y与x的函数关系式；（2）在实施了税收政策以后，如果要让缴纳的税款不少于原计划税收的83.2%，那么x的取值范围是多少？该问题是一个函数问题，它探讨的是税收y与x的函数关系式，并且要了解在税收y为83.2%的前提下，税率的取值范围，这就是在函数区间y为（10-x）%的前提下x的取值，这就是函数最值问题的特征.应用函数最值的性质来分析习题.（1）降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，那么收购总金额为200a（1+2x%）.结合已知条件建立函数关系，得y=200a（1+2x%）（10-x）%=150a（100+2x）（10-x）（0

總之，在探讨数学问题时，经常要应用函数最值的性质来探讨数学问题，该文说明了函数最值问题探讨的方法.