常见不同模态信号分解方法探讨

邢昀，荣剑

（西南林业大学大数据与智能工程学院，昆明 650224）

0 引言

在信号处理领域，从1882年傅里叶提出傅里叶级数，到1965年图基和库利发表“快速傅里叶变换算法”以来，该学科蓬勃发展。在经典的信号处理理论中，时域和频域的关系是信号处理中的一个重要关系，傅里叶变换和傅里叶反变换在信号时域和频域之间建立起了沟通的桥梁[1]。然而傅里叶变换只是一种全局意义上的变换，所以在分析平稳信号时候比较有效，但在实际应用中，大多数信号都是非平稳信号[2]。非平稳信号同平稳信号相比，其分布参数或分布律随时间发生了变化。为了处理非平稳信号，人们在傅里叶变换的基础上对其进行不断的改进和拓展，其中时频分析方法是重要分支之一。时频分析思想是尝试设计一个合适的表征时间和频率联合二维分布函数来分析和处理对非平稳信号。传统的时频分析方法有短时傅里叶变换[3]（STFT）、小波变换[4]（WT）等，它们都为时频分析的发展做了一定的贡献，但它们大都存在一定的局限性。

1 经验模态分解

经验模态分解（EMD）是由美国航空航天局的美籍华人Nordne E.Huang等人在1998年提出的信号分析方法[5-6]，它能够将复杂的信号分解成为有限个本征模态函数IMF[7]之和的形式，可以理解为：将一个频率不规则的波化为若干个单频波+残波的形式。即原波形=∑IMFs+余波。EMD从根本上摆脱了傅里叶变换的约束，而且吸取了小波变换多分辨率的优点，局部自适应性也变得更强。本征模态函数IMF需要满足如下两个条件：①在整个信号中，极值点和过零点的数量之差要小于等于1；②在任意时刻，上下包络线相对于时间轴是局部对称的，即上下包络的均值为零。

对任一个信号X(t)进行EMD分解过程如图1所示：

图1 EMD分解过程图

EMD算法缺少理论支撑，到目前为止，还没有建立一个合适的EMD算法的数学模型。在分解过程中EMD方法会产生模态混叠和端点效应[8]，虽然很多学者针对此进行了研究，但没有从根本上解决问题。

2 集合经验模态分解

2005年Wu Z、Huang N E等人提出了集合经验模态分解方法（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）[9]。集合经验模态分解的实质就是在EMD方法的基础上，向原信号中添加高斯白噪声，依据高斯白噪声均匀分布的频谱特性，来抑制经验模态分解中存在的模态混叠现象。EEMD分解过程图如图2所示：

图2 EEMD分解过程图

3 补充的集合经验模态分解

2010年，Yeh J R等人提出补充的EEMD（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD）[10]通过添加成对的符号相反的白噪声到目标信号，来保证信号分解具有真实的物理意义，大大减小了重构误差。CEEMD分解过程图如图3所示：

图3 CEEMD分解过程图

4 改进的集合经验模态分解

针对CEEMD与EEMD添加高斯白噪声所致的计算量大的问题，2013年，郑近德、程圣军、杨宇提出了改进的集合经验模态分解（Modified Ensemble Empirical Mode Decomposition，MEEMD）[11]。该算法结合 CEEMD和排列熵算法，利用排列熵算法对时间序列变化敏感的特性来检测信号的随机性。首先将待分解信号进行CEEMD分解；然后计算每个分量的排列熵值，根据熵值定义的阈值出去熵值较大的、不规则分量；最后对剩余信号进行EMD分解，将所得信号分量按照高频到低频进行排列。MEEMD分解过程图如图4所示：

图4 MEEMD分解过程图

5 VMD变分模态分解

为了克服上述EMD方法存在的IMF被淹没在噪声背景中，导致无法获得信号特征分量的问题，Konstation Dragomiretskiy和Dominique Zosso在2014年提出了一种新的信号处理方法，称之为变分模态分解[12]。VMD采用非递归的分解模式，其实质上是变分问题的构造和求解，假设信号是由模态函数叠加构成，每个模态函数具有不同中心频率的AM-FM信号，通过迭代搜寻构造变分模型的极值，以此确定各模态函数的频率中心以及带宽，从而可以有效地实现信号频域部分以及各分量的分离。

与EMD不同，IMF在VMD中被定义为一个调频调幅信号，而不局限于窄带信号。表示为：

其中瞬时幅值Ak(t)≥0，相位函数φk(t)是递增函数。构造估计模态带宽的约束变分问题如下：

通过引入二次惩罚参数α和拉格朗日乘法算子λ(t)，来解决上述约束变分问题，二次惩罚参数α使得变分离散问题具有高度非线性与非凸性，保证了信号在高斯噪声干扰下能够被精确分解。拉格朗日乘法算子λ(t)保证了获得每个IMF带宽最优解时的严格性。通过引入α和λ(t)将约束变分问题化为无约束变分问题。增广拉格朗日函数如下：

式中：*表示卷积运算，<>表示内积运算。

用交替方向乘数法迭代更新uk、ωk及λ，求解上式增广拉格朗日函数的鞍点，即约束变分模型的最优解，具体步骤如图5所示：

图5 VMD变分问题求解流程图

6 实验仿真

为了比较这五种算法在噪声信号处理中的效果，分别采用五种算法对模拟噪声信号进行处理，并对分解结果进行分析。

首先设置仿真信号 X(t)，X(t)由 x1，x2，x3 构成，x1 为周期信号，x2为调幅信号，x3为干扰的间歇信号，X(t)以及各种分解方法的分解结果如图6所示：

图6 原始信号分解结果图

从EMD分解结果中可以看出，IMF1和IMF3的结合可以看作周期信号的组成部分，受到噪声的影响，调幅信号的分解结果并不完整，在分解过程中出现了端点效应，使得分解结果严重失真。从EEMD分解结果中可以看出，IMF4可以作为周期信号的组成部分，IMF6非常勉强的可以作为调幅信号的组成，相比于EMD分解方法，调幅信号的以被分解，但调幅信号失真较为严重，并且也存在过多虚假分量。从CEEMD分解结果中可以看出IMF4为周期信号的组成部分，IMF5为调幅信号的组成部分，相对于EMD和EEMD来说，有用的周期信号和调幅信号都得以更好地分离。IMF1和IMF3是分解产生的伪分量，IMF6、IMF7和IMF8为平稳的分解余项。从CEEMD分解结果中可以看出IMF4为周期信号的组成部分，IMF5为调幅信号的组成部分，相对于EMD和EEMD来说，有用的周期信号和调幅信号都得以更好地分离。IMF1和IMF3是分解产生的伪分量，IMF6、IMF7和IMF8为平稳的分解余项。从图VMD分解结果中可以看出，不管是周期信号还是调幅信号都得到了很好地还原，原始信号的成分被更好地分解了出来，说明VMD方法具有更好的噪声鲁棒性。

7 结语

本文基于EMD方法、EEMD方法、CEEMD方法、MEEMD方法和VMD方法对仿真的噪声信号进行分析，结合分解分量的时域图可以看出，EMD方法受噪声干扰较大，有较严重的端点效应和模态混叠效应。EEMD方法在一定程度上抑制了EMD方法分解过程中产生的模态混叠现象，但因其在分解过程中添加了白噪声，导致分解不具有完备性。CEEMD方法因为添加了成对符号相反的白噪声，重构误差大大减小，但计算量过于庞大，并且仍然存在了过多的伪分量。MEEMD结合了CEEMD和排列熵算法，相对于CEEMD能更好的去除分解中产生的伪分量。VMD方法能够更好地把原始信号还原，具有更好的噪声鲁棒性。但由于在仿真信号中信号的组成层数已知，所以可以准确的确定VMD的分解层数K。但在真实信号中VMD分解层数K值并不知道，所以准确地选取K值是VMD分解在实际应用中的研究重点。